- •1. Стохастическая зависимость. Регрессионная зависимость. Эмпирическая функция регрессии.
- •2. Линейная регрессия.
- •3. Статистический коэффициент корреляции
- •5. Статистический коэффициент корреляции. Условие отсутствия линейной корреляционной связи между св.
- •6. Критерий существования линейной функциональной связи между св
- •7. Критерий совпадения линий регрессии y на X и X на y.
- •8. Статистический коэффициент корреляции как мера тесноты линейной корреляционной связи между случайными величинами.
- •9. Статистическое корреляционное отношение. Оценка статистического корреляционного отношения.
- •10.Условие отсутствия корреляционной связи между св. Функциональная зависимость св.
- •11.Корреляционное отношение как мера тесноты корреляционной связи между св.
- •12.Определение случайного процесса (сп). Законы распределения случайных процессов.
- •13.Основные характеристики случайных процессов
- •14.Классификация случайных процессов.
- •15. Непрерывность случайных процессов.
- •16.Дифференцируемость случайного процесса в среднем квадратичном
- •17.Интегрируемость случайного процесса в среднем квадратичном
- •18.Винеровский процесс как математическая модель процесса броуновского движения.
- •19.Винеровский процесс как математическая модель процесса броуновского движения.
- •21. Пуассоновский процесс, его одномерный закон распределения.
- •22.Свойства однородности и отсутствия последствий Пуассоновского процесса(пп).
- •24.Марковский процесс и его свойства.
- •25.Уравнение Колмогорова- Чемпена.
- •26.27. Коэф-т эргодичности. Эргодическая теорема для однородного Марковского процесса.
- •28.Однородный марковский процесс. Распределение времени ожидания выхода системы из исходного состояния.
- •29. Прямая и обратная системы ду Колмогорова.
- •30. Ветвящиеся процессы. Производящие функции.
- •31.Ветвящиеся процессы. Дифф уравнение для производящей функции.
- •32.33.34 Анализ ду для производящей функции ветвящегося процесса. Стремление к стационарному состоянию. Исследование вопроса о числе интегральных кривых, проходящих через точку (0,1).
- •35.Эффекты вырождения и взрыва ветвящегося процесса
- •36, 37 Каноническое разложение случайного процесса
- •38.Спектральное разложение стационарного случайного процесса
28.Однородный марковский процесс. Распределение времени ожидания выхода системы из исходного состояния.
Пусть - произвольные моменты времени такие, что для : имеет место:
Методом мат. индукции для можно установить равенство:
- общая ф-ла для условной вер-ти марковского однородного процесса.
Дадим характеристику этому рав-ву:
Поведение марковского процесса (не обяз. однор-го) после мом. времени , при известном сост. не зависит от его поведения в прошлом т.е до мом. времени . Выведем формулу: рассм момент времени
. В начальный мом времени у нас задана вероятность распределения по состоянию нашего процесса: . Рассмотрим вероятность
Нашли закон совместн. распределения вер. СВ .
29. Прямая и обратная системы ду Колмогорова.
Рассм. однородный Марковский процесс с непрерывным временем, число состояний кот-го конечно, или счетно.
I. Пусть в момент времени система нах-ся в состоянии i и СВ τ есть время ожидания до ее выхода из этого состояния. Найдем ф-цию распределения и плотность СВ τ .
Предполагаем, что при условии τ >s, последующее поведение рассматриваемого однородного Марковского процесса (с точки зрения распред. СВ τ ) такое же, как и после исх. момента времени .
(*) P{τ > s+t | τ > s}=P{τ > >t}
По ф-ле для условной вер-сти имеем: P{τ > s+t | τ > s}=
Если A= { τ > s+t } и B= {τ > s} Отсюда и из рав-ва (*) вытекает то, что A=>B
P{τ > s+t}= P{τ > s} P{τ > t}
Обозн: f(t)= P{τ > t}
Тогда f(s+t)=f(s)f(t), зн. f – показат. ф-ция н-р =>
Любую показат. ф-цию можно записать с основанием e, т.е , где (если t=1)
Заметим, что , тогда .
Т.о. Т.о.
Опр: Постоянная назыв. плотностью выхода из состояния i, если , то P{τ > t}=1, для любого t. Зн. процесс навсегда остается в состоянии i.
Находим ф-цию распределения СВ τ : t<0
Находим плотность СВ τ :
Значения в отд. взятой точке для непрерывной СВ не имеет смысла брать. Т.е. СВ τ имеет показательный (с пар-ом ) закон распределения.
II.Пусть в нач. момент времени система нах-ся в состоянии i, где пребывает случ. время с – показательным распределением вер-сти, после чего переходит в новое состояние j1 с вер-тью (вер-сть попасть при выходе из i именно в состояние j1); в состоянии j1 система пребывает случ. время с – показат. распределение, а затем переходит в новое состояние j2 с вер-тью и.т.д.
При условии, что этот процесс продолжается во времени. Вер-ть того, что за время, не превышающее система совершит выход из исходного состояния i и попадет непосредственно (т.е. минуя пром. состояния) в состояние j равна:
Предположим, что вер-ть более одного перехода за малое время есть . Тогда вер-ть того, что выйдя из i система ч/з окажется в состоянии будет равна:
А вер-ть того, что ч/з система не будет нах-ся в исходном состоянии i равна:
Т.о. переходные вер-ти при малом удовлетворяют усл-ям:
(1):
(2): ,
Опр: Постоянная назыв. плотностью перехода из сост. i в сост. j.
Заметим, что
{в силу ур-я Колмагорова - Чепмена}
Т.о.
Поделим обе части на :
;
; ;
Перейдем к
т.к. i,j = 1,2,…
Получим систему, кот-ая наз. обратной системой ДУ Колмогорова. Если бы мы исп. правую часть исх. рав-ва, стоящую в скобках, то получили бы систему:
– прямая система ДУ Колмогорова.
Добавим нач. усл-я: по смыслу ( )
Примечания: Осуществленный выше формально пред. переход при имеет место при усл-ии, что ф-ции дифференцируемы и число состояний системы конечно.
Приведем без д-ва указ. пред. перехода соотв. теоремы для случая числа состояний.
Теорема: Пусть переходные вер-ти диффер. ф-ции. Пусть выполнено усл-е (1), (2), тогда имеет место обратная система ДУ Колмогорова.
Теорема2: Пусть – дифф. ф-ции; пусть вып-но (1) и (2); пусть плотности перехода равномерно по i ограниченны для каждого j (т.е. ) и в выр-ях (1), (2)
равномерно по всем i ( : => )
Тогда имеет место прямая система ДУ Колмогорова.