13.Основные характеристики случайных процессов

Основными хар-ками СП явл. мат. ожидание, дисперсия, корреляционная функция.

Пусть Х(t) СП, определ. на мн-ве Т.

Опр. Мат. ожид. СП Х(t) наз. Неслучайная функция m(t), которая при каждом допустимом значении аргумента t равна мат. ожид. соотв-го сечения, т.е. m(t)=M{X(t)}.

Опр. Дисперсией СП Х(t) наз. Неслучайная функция D(t), кот. при каждом допустимом значении аргумента t равна .

Опр. Корреляционной функцией СП Х(t) наз. неслучайная функция , которая для любой пары равна ковариации соответствующих сечений.

Корреляционная функция является хар-кой связи между сечениями СП.

Свойства корреляционной функции:

Свойство симметрии

1.

2.K(t,t)=D(t)

Нер-во Коши-Буняковского:

3.

14.Классификация случайных процессов.

Первым признаком, который м.б. положен в основу классификации СП является зависимость или не зависимость свойств этих процессов от начала отсчета времени:

Стационарные СП

Нестационарные СП

Опр. СП Х(t) определенный на множестве Т наз. стационарным (в уз. см.), если при все его n-мерные законы распр-ния не зависят от сдвига во времени на произв. величину , т.е. имеет место рав-во

(*)

Для стационарного (в узком смысле) СП в частности имеем:

Для одномерного закона распр-ния: .

Одномерный закон распр-ния не зависит от момента времени, для кот. он рассматривается.

Для двумерного закона:

Двумерный закон распр-ния зависит от разности между моментами времени и не зависит от начала отсчета времени.

Сл.: МО и дисперсия стационарного (в уз. смысле) СП явл. Постоянными величинами, а КФ зависит от разности момента времени, а не от самих моментов:

1.

2. (**)

3.

Т.к. корреляционная функция любого СП симметрична, то для стационарного (в уз. см.)

Процесса имеем: Равенства (**) являются необходимыми, но не достаточными условиями стационарности (в уз. см.).

Опр. СП X(t) наз. стационарным (в шир. см.), если для него вып. св-ва (**).

Вторым признаком, кот. м.б. полжен в основу классификации СП явл. вид закона распр-ния. Наиболее часто встречается нормальный (или Гауссовский) з-н распр-ния.

Опр. СП X(t) наз. нормальным (Гауссовским), если все его n-мерные законы распр-ния нормальные.

Третьим признаком, кот. м.б. положен в основу классификации СП явл. зависимость дальнейшего поведения СП от его значений в настоящий и предшествующий момент времени. Напр., Марковский процесс обладает тем свойством, что в каждый момент времени дальнейшее поведение этого процесса обусловлено его состоянием в данный момент и не зависит от поведения процесса в предшествующий период.

СП классифиц. другим признаком, например, выделяют класс с СП с независимыми приращениями.

Опр. Пусть СП X(t) определенный при . X(t) наз. процессом с независимыми приращениями, если и , таких что .

- независимые СВ.

Еще один класс СП – класс однородных СП.

Опр. Пусть X(t) СП определенный при . X(t) наз. однородным, если закон распр-ния СВ зависит лишь от , но не зависит от t.

15. Непрерывность случайных процессов.

Пусть СП определен на инт. , .Пусть -некот. СВ.

Опр. Говорят, что СП сходится в среднеквадратичном при к СВ (обозначается ),если

Опр. для непрерывности СП на инт. необх. и дост., чтобы его мат. ожидание было непрерывно на инт. , а его кореляц. ф-ия была бы непрерывной на диагонали .