2. Линейная регрессия.

Наблюденные данные для случайного вектора (X,Y) представим в виде таблицы, наз. корреляционной.

x\y				…
…

= ; = ;

Допустим, что по распределению точек ( , ) на корреляционном поле сделан вывод о линейной зависимости. Найдем уравнение прямой регрессии в виде =ax+b.

Координаты выражаются так, чтобы Для нахождения min имеем систему

Введем обозначения:

- подставим в уравнение регрессии

1-ое для дискретной, 2-ое для непрерывной.

наша прямая проходит через точку

Черточка наверху означает, что это статистическая ковариация

ковариация X и Y

ковариация статистич. сл. в X,Y

или

-искомое уравнение регрессии

Опр. Выражение называется статическим коэффициентом регрессии Y на X. Аналогично определяется статический коэффициент регрессии X на Y .

Очевидно, что и имеют одинаковые знаки.

3. Статистический коэффициент корреляции

Опр.Статистическим коэффициентом корреляции СВ и между которыми существует линейная корреляционная связь называется величина:

Выразим через и , где

Свойства:

Теорема 1 Величина не зависит от выбора единиц измерения СВ , Proof. Пусть - пары набдюдённых значений , . Умножим на , на , получим: Тогда

Теорема 2 Имеет место неравенство: Proof. Пусть - различные пары наблюдённых значений , . Рассмотрим выражение

Очевидно (по определению ) ,тогда из чего следует что

5. Статистический коэффициент корреляции. Условие отсутствия линейной корреляционной связи между св.

Опр. Статистическим коэффициентом корреляции СВ и , между которыми существует линейная корреляционная связь, называется величина:

Выразим через статистические коэффициенты регрессии и

+ , если и > 0

- , если и < 0

Выразим и через

Теорема: Если =0, то между СВ нет линейной корреляционной связи.

Доказательство: Предположим, что линейная корреляционная связь есть.

И рассмотрим уравнение линейной регрессии:

линейной корреляционной зависимости нет,

т.к. различным значениям x соответствуют одинаковые средние значения .

- = (y- )

И различным значениям СВ Y соответствуют значения .

6. Критерий существования линейной функциональной связи между св

Различают 2 вида зависимостей: функциональная и стохастическая (вероятностная).

Функциональная зависимость – это однозначное отображение множества значений СВ X в множество значений СВ Y.

Опр. Статистическим коэффициентом корреляции СВ и , между которыми существует линейная корреляционная связь, называется величина:

Теорема: = ±1 тогда и только тогда, когда между X и Y существует линейная функциональная связь.

Доказательство: (=>) Предположим, что между X и Y существует линейная функциональная связь, то:

=a +b , a≠0

= =

( ) ~ = n

= a +b

= = = {

(<=) = ±1

= (1- ) = 0

≠ 0

= 0

= + ) => ( ) лежат на одной прямой:

y = + (x - ) , => между X и Y существует линейная функциональная связь.