7. Критерий совпадения линий регрессии y на X и X на y.

- статистический коэфф-т корреляции

- статистическая ковариация

- статистические среднеквадратичные отклонения

Теорема:

тогда и только тогда, когда линии регрессии У на Х и Х на У совпадают.

Доказательство:

(=>)

//линия регр-и У на Х

Обе прямые проходят через одну точку

Угловые коэффициенты: ,

, значит одна прямая.

(<=)

Если одна прямая, должно выполняться :

ЧТД.

8. Статистический коэффициент корреляции как мера тесноты линейной корреляционной связи между случайными величинами.

Выясним смысл коэф-та линейной корреляции :

- сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от линии регрессии по ординате, рассеяние эксперимент-х данных вокруг линии регрессии.

Если , то сила линейной корреляционной связи между величинами растет, точки экспериментальных данных все ближе к линии регрессии.

Если , то лин-я корр-я связь м-ду Х и У уменьшается.

ВЫВОД: статистический коэфф-т корр-и является мерой тесноты линейной корреляционной связи между Х и У.

9. Статистическое корреляционное отношение. Оценка статистического корреляционного отношения.

Будем исследовать тесноту любой (нелинейной) корр-й связи м-ду случайными величинами Х и У.

x\y				…
…

Пусть имеется корр-я таблица наблюдений значений сл-х в-н Х и У:

= ; = ;

Для каждого x­­­­_i найдем значение у

X	x1	x2		xk
ni	n1	n2		nk

Величины называют групповыми условными средними.

Введем в-ны:

эти в-ны называются межгрупповыми дисперсиями и характеризуют рассеяние условных средних относительно общего среднего выборочного.

, - межгрупповые среднеквадратичные отклонения

Опр. Статистическим коррел-м отношением У на Х наз-ся величина , где

Теорема:

( )

Д-во:

- по определению, ,

рассмотрим

// , зафиксируем S_i

- групповая условная дисперсия

- внутригрупповая дисперсия (среднее значение групповых дисперсий)

получили:

=>

, ЧТД.

10.Условие отсутствия корреляционной связи между св. Функциональная зависимость св.

Будем исследовать тесноту любой, вообще говоря, нелинейной корреляционной связи между СВ X и Y . Пусть имеется корреляционная таблица наблюденных данных СВ X и Y.

X\Y	y1	y2	…	yl	ni
x1	m11	m12	…	m1l	n1
x2	m21	m22	…	m2l	n2
…	…	…	…	…	…
Xk	mk1	mk1	…	mkl	nk
mj	m1	m2	…	ml	n

_{Для каждого} x_i среднее значение соотв.

X	x1	x2	…	xk
			…
ni	n1	n2	…	nk

_{Введем обозначение} . Величины _{наз. групповыми (условными) средними.}

_{. Дисперсия относительно общего среднего. . Эти величины характеризуют рассеивание условных средних относительно общего среднего выборочного. Они наз. межгрупповыми дисперсиями. , -межгрупповые средне квадратичные отклонения. Статистическим нормальным отклонением Y на X (X на Y) наз. величина: ( ), . Теорема: 0≤ ≤1, 0≤ ≤1. Док-во: док-ем 0≤ ≤1, ≥0 – очевидно, т.к. и положительные. ≤1, , , - групповая или условная дисперсия}

_{. .}

_{, - внутригрупповая дисперсия. , получили формулу: => , , . Ч.т.д. Теорема: Если =0, то корреляционная связь Y на X отсутствует. Док-во: =0 => , , . Корреляционной связи между X и Y нет. Ч.т.д.}

Функциональная зависимость- это однозначное отображение множества значений С.В. Х в множество значений С.В. Y.

_{Теорема: Если =1, то СВ Y и Х функционально зависимы. Док-во: =1, то , . Было установлено: . => => , , т.е. выбирая и фиксируя хi мы получим единственное yj. Т.е. между x и y существует функциональная зависимость. Ч.т.д.}