- •1. Стохастическая зависимость. Регрессионная зависимость. Эмпирическая функция регрессии.
- •2. Линейная регрессия.
- •3. Статистический коэффициент корреляции
- •5. Статистический коэффициент корреляции. Условие отсутствия линейной корреляционной связи между св.
- •6. Критерий существования линейной функциональной связи между св
- •7. Критерий совпадения линий регрессии y на X и X на y.
- •8. Статистический коэффициент корреляции как мера тесноты линейной корреляционной связи между случайными величинами.
- •9. Статистическое корреляционное отношение. Оценка статистического корреляционного отношения.
- •10.Условие отсутствия корреляционной связи между св. Функциональная зависимость св.
- •11.Корреляционное отношение как мера тесноты корреляционной связи между св.
- •12.Определение случайного процесса (сп). Законы распределения случайных процессов.
- •13.Основные характеристики случайных процессов
- •14.Классификация случайных процессов.
- •15. Непрерывность случайных процессов.
- •16.Дифференцируемость случайного процесса в среднем квадратичном
- •17.Интегрируемость случайного процесса в среднем квадратичном
- •18.Винеровский процесс как математическая модель процесса броуновского движения.
- •19.Винеровский процесс как математическая модель процесса броуновского движения.
- •21. Пуассоновский процесс, его одномерный закон распределения.
- •22.Свойства однородности и отсутствия последствий Пуассоновского процесса(пп).
- •24.Марковский процесс и его свойства.
- •25.Уравнение Колмогорова- Чемпена.
- •26.27. Коэф-т эргодичности. Эргодическая теорема для однородного Марковского процесса.
- •28.Однородный марковский процесс. Распределение времени ожидания выхода системы из исходного состояния.
- •29. Прямая и обратная системы ду Колмогорова.
- •30. Ветвящиеся процессы. Производящие функции.
- •31.Ветвящиеся процессы. Дифф уравнение для производящей функции.
- •32.33.34 Анализ ду для производящей функции ветвящегося процесса. Стремление к стационарному состоянию. Исследование вопроса о числе интегральных кривых, проходящих через точку (0,1).
- •35.Эффекты вырождения и взрыва ветвящегося процесса
- •36, 37 Каноническое разложение случайного процесса
- •38.Спектральное разложение стационарного случайного процесса
36, 37 Каноническое разложение случайного процесса
Каноническим разложением случайного процесса называется разложение
(*), где - неслучайные функции,
M[Vk]=0 для любых k, M[Vi,Vj]=0 для i≠j …. Где Vk – центрированные попарно некоррелированные величины.
Сумма (*) может содержать конечное или счётное множество слагаемых, если счётное множество под суммой ряда (*) понимается как предел в среднеквадратичном. ,
Если случайный процесс X(t) представлен каноническим разложением (*), то его корреляционная функция записывается в виде: (**)
Это каноническое разложение корреляционной функции.
Приведём без доказательства следующий факт: из возможности канонического разложения вида (**)вытекает каноническое разложение случайного процесса Х(t) в виде (*).
Пусть случайный процесс X(t) представлен в виде , где Uk – коррелированны. Такое представление не является каноническим, и поэтому представление (**) для корреляционной функции будет несправедливо, но с помощью линейного преобразования можно привести к каноническому виду. Эта задача в общих чертах аналогична задаче приведения квадратичной формы к каноническому виду.
38.Спектральное разложение стационарного случайного процесса
df: Стационарный (в широком смысле) случайный процесс называется случайным процессом с дискретным спектром, если он представлен в виде: (*).
Где mx – математическое ожидание случайного процесса х(t), ωk=const>0, Uk,Vk- это случайные процессы, удовлетворяющие следующим условиям:
они должны быть центрированы, т.е. М[Uk]=M[Vk]=0 для любых k.
D[Uk]=D[Vk]=Dk>0=const для любых k
M(Ui Uj)= M(Vi Vj)=0 при i≠j
M(Ui Vj)=0 для любых i,j
Корреляционная функция стационарного процесса с дискретным спектром имеет вид: (**).
Найдём дисперсию стационарного случайного процесса с дискретным спектром:
df: Представления (*) и (**) называются спектральными разложениями соответственно случайного процесса и корреляционной функции.
Если , то разложение (**) представляет собой ряд Фурье по косинусам функции Kx(τ) на отрезке [-t;t].
Стационарные случайные процессы, рассматриваемые лишь на конечном промежутке t€[0;T], всегда могут быть представлены в виде спектральных разложений (*) и (**).