11. Средняя арифметическая и ее свойства.

Средняя арифметическая:

1. простая рассчитывается по не сгруппированному ряду

2. взвешенная рассчитывается по взвешенному сгруппированному ряду

х- значение вариантов f- частота, показывает сколько раз в совокупности встречается данное значение признака

Для интервального ряда х – середина интервала.

Например:

х	частоты	частности
3000-5000	3	0,15 (=3/20)
5000-7000	5	0,25
7000-9000	10	0,50
Св 9000	2	0,10

= (5000-3000)/2=4000

= (4000*3+6000*5+8000*10+10000*2) /( 3+5+10+2)=7100

Открытый интервал закрывается на величину имеющего интервала (в данном случае от 9000-1100)

Частоты могут быть как целые так и дробные числа

Свойства средней арифметической:

1. сумма отклонения вариантов от среднего значения = 0

2. произведение средней на сумму частот = сумме произведение вариантов на частоту

3. Если от каждого варианта отнять число например А, то средняя уменьшится на это число А.

4. Если к каждому варианту прибавить число А то средняя увеличится на это число А

5. Если варианты увеличить в А раз, то средняя увеличится в А раз

6. Если варианты уменьшить в А раз, то средняя уменьшится в А раз

7. Если частоты умножить или разделить на число А, то средняя не изменится. Потому что удельный вес каждой группы останется неизменным.

Свойства применяется для расчета средней методом момента:

1. интервал A- постоянное число, условное начало- центр ряда – лучше выбирать m- момент

В нашем примере: А=8000 х=4000 i=2000 – 5000-3000=9000-7000

Х1= (4000-8000)/2000=-2

Х2=(6000-8000)/2000=-1

Х3=0

Х4=1

m= ((-2)*3+(-1)*5+0*10+1*2) / 20 = (-9)/20 = -0,45

=2000*(-0,45)+8000=7100

12. Средняя гармоническая , область ее применения.

Рассчитывается когда неизвестна частота или неизвестно количество каждого варианта

=20 / (1/4000 + 1/6000+ 1/8000 + 1/10000)=

В сгруппированном ряду средняя гармоническая рассчитывается по форме:

=20 /(3/4000 + 5/6000 + 10/8000 + 2/10000)=

Гармоническое среднее находит свое применение, когда известны объемные показатели и известны конкретные варианты по группам.

13. Средние: квадратическая, геометрическая область их применения.

Применяется когда исходная информация дана в квадратных единицах. (км²)

Взвешенная квадратическая:

Для оценки вариации и расчета дисперсии

5)) геометрическая

Применяется в рядах динамики для расчета средних коэффициентов роста:

n- количество лет

F- частота x-варианты

14 . Ряды распределения, виды. Форма распределения, критерии согласия.

Ряд распределния является одним из видов группировок.

Ряд распределения — представляет собой упорядоченное распределение единиц изучаемой совокупности на группы по определенному варьирующему признаку.

В зависимости от признака, положенного в основу образования ряда распределения различают атрибутивные и вариационные ряды распределения:

• Атрибутивными — называют ряды распределения, построенные по качественными признакам.

• Ряды распределения, построенные в порядке возрастания или убывания значений количественного признака называются вариационными.

Вариационный ряд распределения состоит из двух столбцов:

В первом столбце приводятся количественные значения варьирующегося признака, которые называются вариантами и обозначаются . Дискретная варианта — выражается целым числом. Интервальная варианта находится в пределах от и до. В зависимости от типа варианты можно построить дискретный или интервальный вариационный ряд. Во втором столбце содержится количество конкретных вариант, выраженное через частоты или частости:

Частоты — это абсолютные числа, показывающие столько раз в совокупности встречается данное значение признака, которые обозначают . Сумма всех частот равна должна быть равна численности единиц всей совокупности.

Частости ( ) — это частоты выраженные в процентах к итогу. Сумма всех частостей выраженных в процентах должна быть равна 100% в долях единице.

Для анализа вариационных рядов рассчитываются моменты.

Моменты различают:

Порядок	А=0	А=х с черточкой	А≠0
1
2
3
4

При анализе вариационных рядов проводится сопоставление, сравнение эмпирического (фактического) распределения с теоретическим.

В нормальном распределении частота:

График1

Нормальное распределение =Мо=Ме

Для оценки соответствия эмпирического распределения к нормальному используется критерий:

1. Пирсона – называется «хи квадрат»

Табличное сравниваем с расчетным значением. И делаем выводы

2. Романовского :

<3 то нормальное

3. Колмогорова – по накопленным частотам

D- максимальная разность между накопленными эмпирическими и теоретическими величинами n- сумма частот

По расчету значению лямбда в таблице (написано вероятность, что значение правильное).

Показатель асимметрии:

Асимметрия – в эмпирическом распределение вершина либо в лева либо в права

если < моды то слева >то справа

Существенность асимметрии:

Эксцесс-

>1 высоко вершинное, если наоборот то низко вершинная