Тогда ее можно представить как

(2х₁-х₂-1)²+(х₁-2х₂-2)²=0. (2.2*)

Решение системы (2.2) совпадает с решением системы (2.2*).

Если коэффициенты A или B известны неточно, то решение также является не точным, поэтому вместо равенства можем потребовать приближенного выполнения равенстваи в этом виде задача становится не определенной и нужно добавить дополнительные условия.

В качестве дополнительного условия вводят требование, чтобы решение как можно меньше отклонялось от заданного х₀ т.е.(х-х₀, х-х₀)было минимальным. Следовательно, приходим к регуляризованной задаче вида

(Ах-B, Ax-B)+(x-x₀, x-x₀)=min, (2.3)

где >0.

Используя свойства скалярного произведения, выражение (2.3) перепишем в виде

(x,A^TAx)-2(x,A^TB)+(B,B)+[(x,x)-2(x,x₀)+(x₀,x₀)]=min. (2.4)

Варьируя xв уравнении (2.4), получим уравнение вида

(A^TА+E)x=A^TB+x₀. (2.5)

Система (2.5) – система линейных алгебраических уравнений, эквивалентная системе (2.1). Систему (2.5) решаем с помощью метода Гаусса или с помощью метода квадратных корней. Решая систему (2.5) найдем решение, которое зависит от числа .

Выбор управляющего параметра .Если=0, то система (2.5) перейдет в плохо обусловленную систему (2.1).

Если же –велико, то система (2.5) переходит в хорошо обусловленную систему и решение этой системы может сильно отличаться от решения системы (2.1).

Оптимальное значение – это такое число, при котором система (2.5) удовлетворительно обусловлена.

На практике пользуются невязкой вида , и эту невязку сравнивают по норме с известной погрешностью правых частейи с влиянием погрешности коэффициентов матрицы.

Если – слишком велико, тоили ||||. Если– мало, тоили ||||.

Поэтому проводят серию расчетов, при различных и в качестве оптимального значения выбирают то значение, когда выполнено следующее условие

.

Для выбора вектора х₀нужно знать приближенное решение или же, если приближенное решение трудно определить, тох₀=0.

2.2 Метод вращения (Гивенса)

Метод Гивенса как и метод Гаусса состоит из прямого и обратного ходов.

Прямой ход метода. Исключаем неизвестное из всех уравнений, кроме первого. Для исключенияиз 2-го уравнения вычисляют числа

, ,

где итакие, что,.

Первое уравнение системы заменяем линейной комбинацией первого и второго уравнений с коэффициентами и,а второе уравнение такой же комбинацией си -. В результате получим систему

. (2.6)

Здесь

где j=.

Преобразование системы (2.1) к системе (2.6) эквивалентно умножению матрицы A и вектора B слева на матрицу С₁₂вида

.

Аналогично для исключения из третьего уравнения вычисляем числа

и ,

такие, что .

Затем первое уравнение системы (2.6) заменяем линейной комбинацией первого и третьего уравнений с коэффициентами ,, а третье уравнение системы (2.6) тоже заменяем линейной комбинацией с,–. Это преобразование эквивалентно умножению слева на матрицу

.

Исключая неизвестное х₁из всех последующих уравнений получим систему

А⁽¹⁾ х=В,

где матрица A⁽¹⁾=C_1m…C₁₃C₁₂A, , а вектор правых частей.

Здесь и далее через С_kj обозначена матрица элементарного преобразования, отличающаяся от единичной матрицы Е только четырьмя элементами. Действие матрицыС_kjна векторxэквивалентно повороту вектораxвокруг оси перпендикулярной плоскостина уголтакой, что

, .

Операцию умножения на матрицу С_kj называют плоским вращением или преобразованием Гивенса.

Первый этап состоит из m-1 шагов, в результате чего получается система

(2.7)

В матричной форме А⁽¹⁾ х=В⁽¹⁾.

На втором этапе, состоящем из m-2шагов, из уравнений системы (2.7) с номерами 3,4,…,mисключают неизвестноех₂.Bрезультате получим систему