Министерство образования Российской Федерации

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра проектирования средств информатики

Интерполяция и экстраполяция

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к лабораторным работам по дисциплине

«Вычислительная математика»

Уфа  2003

Составители в.П. Житников, н.М. Шерыхалина, а.Р. Ураков

УДК 519.6 (07)

ББК 22.193 (я7)

Интерполяция и экстраполяция. Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Вычислительная математика». /Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т.; Сост. В.П. Житников, Н.М. Шерыхалина, А.Р. Ураков. -Уфа, 2003. - 41 с.

Особое внимание уделено оценке погрешностей, которые возникают при интерполяции, вычислении бесконечных сумм, численном дифференцировании, интегрировании и т. п. Применяемые методы, позволяют не только оценить погрешность, но и ускорить сходимость путем сравнения и уточнения результатов, полученных при различном числе узловых точек.

Предназначены для студентов 2-го курса направления 654600: Информатика и вычислительная техника для проведения лабораторных работ, а также могут быть полезны студентам 5-го курса при выполнении дипломных проектов, аспирантам и научным работникам.

Ил. 14. Библиогр.: 8 назв.

Рецензенты: Газизов Р.К.

Васильев В.И.

© Уфимский государственный авиационный

технический университет, 2003

Содержание

Лабораторная работа №1 «Интерполяция функций»……………………….. 4

1. Цель работы…………………………………………………………………. 4

2. Задачи работы………………………………………………………………. 4

3. Вводная часть……………………………………………………………….. 4

4. Теоретические основы……………………………………………………… 5

5. Методы оценки погрешности интерполяции…………………………….. 8

6. Критерий качества оценки погрешности……………………………… 12

7. Численный эксперимент……………………………………………..…. 12

8. Порядок решения задачи на ЭВМ………………………………………... 15

9. Требования к отчету по лабораторной работе……………………….….. 15

10. Вопросы для самопроверки………………………………………….… 15

Лабораторная работа №2 «Применение экстраполяции

для ускорения сходимости последовательностей»………………………… 16

1. Цель работы……………………………………………………………….. 16

2. Задачи работы……………………………………………………………... 16

3. Вводная часть……………………………………………………………...16

4. Теоретические основы………………………………………………….… 17

5. Верификация методов оценки погрешности.

Повторная экстраполяция ………………………………..……………… 22

6. Численный эксперимент………………………………………………..… 25

7. Порядок решения задачи на ЭВМ……………………………………….. 30

8. Требования к отчету по лабораторной работе………………………….. 31

9. Вопросы для самопроверки……………………………………………… 31

Лабораторная работа №3 «Экстраполяция

при неизвестном порядке аппроксимации»………………………………… 32

1. Цель работы……………………………………………………………….. 32

2. Задачи работы……………………………………………………………... 32

3. Вводная часть……………………………………………………………...32

4. Теоретические основы………………………………………………..…… 32

5. Порядок решения задачи на ЭВМ……………………………………….. 39

6. Требования к отчету по лабораторной работе………………………….. 39

7. Вопросы для самопроверки……………………………………………… 39

Список литературы………………………………………………………..… 40

Лабораторная работа №1

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ

1. Цель работы

Ознакомление с интерполяционными формулами Лагранжа, Ньютона, рекуррентным соотношением Эйткена, методами оценки погрешности интерполяции.

2. Задачи работы

Закрепление, углубление и расширение знаний студентов при решении практических вычислительных задач. Овладение вычислительными методами и практическими методами оценки погрешности вычислений. Приобретение умений и навыков при программировании и отладке вычислительных задач на компьютере.

3. Вводная часть

Интерполяция функций является одним из фундаментальных разделов вычислительной математики. До появления компьютеров для многих практических вычислений применялись таблицы элементарных функций (синусов, логарифмов и т. п.). Для получения достаточно точных результатов при значениях аргументов, расположенных между узловыми точками, для которых даны табличные значения функции, решалась задача интерполяции (в переводе - «между полюсами»). В наиболее простом случае соседние точки графика этой функции соединялись отрезком прямой (линейная интерполяция). Собственно, густота точек таблицы и выбиралась в расчете на интерполяцию. Например, выражение «четырехзначные таблицы» означает, что для любого значения аргумента, а не только для указанных в таблице в качестве узловых, путем интерполяции, (как правило, линейной) можно получить значение табулированной функции с точностью до четырех значащих цифр.

Основополагающее значение задачи интерполяции объясняется также тем, что многие методы решения задач численного дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных и интегральных уравнений сводятся к дифференцированию и интегрированию интерполяционного многочлена.

После появления компьютеров значение задачи интерполяции функций, заданных таблично, не потеряло актуальности, поскольку в результате численного решения сложных задач получается ряд значений искомой функции при разных значениях входного параметра. Получение большого числа таких значений сопряжено с большими затратами машинного времени. Применение интерполяции в этом случае позволяет существенно уменьшить эти затраты. Однако, в отличие от задачи интерполяции известной функции, в этом случае информация об искомой функции ограничивается таблицей ее значений. Эта задача является некорректной, поскольку существует бесконечное множество функций, имеющих заданное конечное число известных значений.

С подобными же проблемами приходится сталкиваться и при решении дифференциальных и интегральных уравнений. Поэтому можно сформулировать такой тезис: в вычислительной математике не существует корректных задач. Существуют только корректно поставленные задачи, т.е. искусственно придуманные условия, которые на практике, как правило, не выполняются в связи с недостатком информации о том, что является искомым.

В связи с этим задача интерполяции в реальных условиях есть важнейшая проблема вычислительной математики, решение которой позволяет найти ключ к решению многих других задач, необходимых для практики.