7. Порядок решения задачи на эвм

1. По указанию преподавателя выбрать метод экстраполяции (правило Рунге (2.6), метод Ромберга (2.11) или таблицу Нэвилла (2.12).

2. Составить подпрограмму, реализующую данный метод.

3. Предусмотреть в программе многократную экстраполяцию.

4. Оценить размытость оценки погрешности согласно п. 5.

5. Отладить программу путем экстраполяции частичных сумм (см. раздел 6 «Численный эксперимент»).

6. Применить программу для экстраполяции последовательности, заданной преподавателем. Результат оценки погрешности представить в виде графика (рис. 2.2) и в виде таблицы 2.1.

8. Требования к отчету по лабораторной работе

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

1. файл исходного текста программы;

2. файлы результатов для тестового примера и для экстраполяции заданной последовательности;

3. описание алгоритма расчета (в текстовой форме и в виде блок-схемы) в электронном и распечатанном виде;

4. распечатку файлов п. 2) с комментариями;

5. общие выводы по результатам работы, включающие результаты тестирования, полученные оценки погрешности результатов и обоснование этих оценок.

9. Вопросы для самопроверки

1. Математические модели погрешности.

2. Область применения разных методов экстраполяции.

3. Оценка эффективности разных способов экстраполяции.

4. Влияние погрешности округления на результат экстраполяции.

5. Основное условие, ограничивающее применение методов экстраполяции типа Ромберга, основанных на применении интерполяционных формул.

Лабораторная работа №3

ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ ПРИ НЕИЗВЕСТНОМ

ПОРЯДКЕ АППРОКСИМАЦИИ

1. Цель работы

Продолжение ознакомления с методами экстраполяции.

2. Задачи работы

Овладение методами практической оценки погрешности результатов численных экспериментов и уточнения результатов расчетов при меньшей информированности о процессе исследования.

3. Вводная часть

Следует различать задачи по наличию и виду дополнительной (априорной) информации, которая может быть использована при построении математической модели погрешности.

Например, оценка по правилу Рунге основана на предположении, что известен порядок точности численного метода (или порядок аппроксимации). В методе Ромберга требуется, чтобы были известны показатели нескольких степенных функций.

Однако при анализе результатов решения сложных задач часто случается, что показатели неизвестны и их значения должны быть получены из анализа численных результатов.

4. Теоретические основы

4.1. Процесс Эйткена

При оценке погрешности частичных сумм значение kв (2.4) может быть неизвестно. В этом случае можно использовать следующую модификацию правил Рунге и Ричардсона. Вычислим три значенияz₁,z₂,z₃при трех номерах последовательности:n,nQ,nQ²и составим систему трех уравнений

(3.1)

Найдем разности

,

,

и разделив одну на другую, определим Q^k:

. (3.2)

Теперь можно найти z:

. (3.3)

Как и в рассмотренных ранее случаях, мы нашли экстраполированное (уточненное) значение z, а вместе с ним и оценку погрешностиz_iz.

Этот способ экстраполяции при неизвестном порядке точности принято называть алгоритмом Эйткена [4] или ²-алгоритмом, который в более общем случае применяется для экстраполяции векторных последовательностей, например, при решении систем уравнений [1]:

.

В последнем выражении z_i– векторы, а скобками обозначается скалярное произведение.

Ошибка экстраполяции.Оценим ошибку экстраполяции, возникающую при применении этого метода. Предположим, чтоz_iпредставляется в виде (2.18). Применим формулы (3.2) и (3.3), подставив в них разложение (2.18)

. (3.4)

Аналогично (2.20) получим оценку

.

Отсюда следует, что, в отличие от метода Ромберга, применение ²– алгоритма приводит к дополнительной погрешности экстраполяции, имеющей порядок, отличный отk₂. Это может мало сказаться на результатах первой и второй экстраполяции. Однако при третьей экстраполяции будет оцениваться не следующий член разложения, а погрешность первой экстраполяции(предполагается, чтоk₃>2k₃-k₁).

Таким образом, если погрешность экстраполяции при известных показателях k_iвыражается только в изменении коэффициентовc_i, то при неизвестныхk_iпогрешность приводит к появлению новых слагаемых в разложении члена последовательности. Это существенно уменьшает точность и ограничивает число возможных экстраполяций.

Следует также отметить, что метод Ромберга не требует монотонного убывания коэффициентов разложения c_i, так как погрешность (2.22) не зависит от соотношения коэффициентов. Погрешность (3.4)²– алгоритма зависит от отношенияc₂/c₁и если это отношение достаточно велико, результат экстраполяции трудно предсказуем.

Иллюстрация на численном эксперименте.На рис. 3.1а приведены результаты применения повторной экстраполяции с помощью²- алгоритма (3.3) приQ=2 к последовательности сумм (2.2).

Цифрой 1, как и выше, обозначена зависимость погрешностей результатов, экстраполированных один раз, цифрой2– два раза и т. д. Из сравнения рисунков 2.2а и 3.1а видно, что применение²– алгоритма для получения той же точности, что и метод Ромберга, требует использования в 10-100 раз больше слагаемых. Это – следствие незнания показателейk_jи накопления погрешности при экстраполяции.

а)

б)

Рис. 3.1. Результаты экстраполяции с помощью ²-алгоритма:

а) – последовательности сумм (2.2); б) – упрощенной последовательности (3.5).

На рис. 3.1б показаны результаты применения ²-алгоритма к последовательности

, (3.5)

т.е. к упрощенной последовательности (2.25). Рисунок показывает, что качество экстраполяции от такого упрощения не улучшается.