Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

И.И. Голичев

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Лабораторный практикум по курсу «Численные методы»

Рекомендовано Редакционно-издательским советом УГАТУ в качестве учебного пособия

Уфа 2006

УДК 519. 6(07)

ББК 22.19 (я7)

Г60

Рецензенты: проректор БГУ, д-р физ. - мат.наук, проф. Морозкин Н.Д., ведущий научный сотрудник Института математики с ВЦ УНЦ РАН, д-р физ. -мат. наук Мусин И.Х.

Голичев, И.И.

Г60 Численные методы: лабораторный практикум по курсу «Численные методы» И.И. Голичев / Уфимск. гос. авиац. техн. ун - т. – Уфа: УГАТУ 2006 – 51 с.

ISBN 5-86911-615-5

Лабораторный практикум содержит описание лабораторных работ по численным методам решения задач из разделов «Системы линейных алгебраических уравнений», «Интегрирование», «Аппроксимация функций», «Нелинейные алгебраические уравнения», «Обыкновенные дифференциальные уравнения», «Уравнения математической физики». При выполнении работы не предполагается использование готовых программных продуктов. В практикуме содержатся альтернативные варианты решения ряда задач, что облегчает адаптацию конкретных задач к рассмотренным вариантам. Предлагаемые в практикуме методы и алгоритмы численного решения задач могут быть использованы при выполнении курсовых и дипломных работ.

Практикум предназначен для студентов 3 курса по специальности «Прикладная математика».

Печатается по решению редакционно-издательского совета Уфимского государственного авиационного технического университета

УДК 519. 6(07)

ББК 22.19 (я7)

ISBN 5-86911-615-5

©Голичев И.И., 2006 ©Уфимский государственный авиационный технический университет, 2006

Введение

Предлагаемые в данном практикуме лабораторные работы соответствуют программе по дисциплине «Численные методы».

Первая лабораторная работа по итерационным методам решения систем линейных уравнений имеет подготовительный характер направлений на то, чтобы студент легче освоил методы численного решения краевых и начально-краевых задач уравнений математической физики.

Вторая лабораторная работа направлена на практическое освоение методов интегрирования и интерполяции и включает работы 2 – 4.

Третья лабораторная работа посвящена численным методам решения нелинейных уравнений и систем и состоит из работ 5 – 7.

В четвертой лабораторной работе излагаются численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и подразумевает выполнение работ 8, 9.

В пятой и шестой лабораторной работе предполагается практическое освоение студентами численных методов решения краевых и начально- краевых задач уравнений математической физики, которые изложены в работах 10 – 14. Работы 11 – 13 носят факультативный характер.

Лабораторная работа № 1. Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева Метод простых итераций

Требуется решить систему уравнений

, (1)

где – симметрическая, положительно определенная матрица. Метод простых итераций имеет вид

, (2)

где где– соответственно минимальное и максимальное собственные числа матрицы или их оценки снизу и сверху. Можно положить

,

.

Из (2) следует, что

(3)

Полагаем начальное приближение Итерации продолжаются до тех пор, пока 3 последние итерации не будут совпадать с точностью до 6 знаков после запятой.

Метод Чебышева

Пусть – симметрическая, положительно определенная матрица. В явном методе Чебышева вместо итерационного процесса (2) используется следующий

, (4)

где – минимальное и максимальное собственные числа матрицы.

Метод Чебышева отличается от предыдущего метода тем, что число итерации задается в начале итерационного процесса. Особенностью метода Чебышева является то, что именно последняя n-я итерация считается верной. После выполнения всех итераций число n увеличивается, процедура повторяется.

Вычисления останавливаем, когда абсолютное значение между двумя последовательными повторениями становится не более чем

Задание.

Написать программы для решения системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева. Исходная система имеет вид:

,

где матрица

–искомый вектор-столбец.

Провести вычисления на ЭВМ.

Порядок выполнения лабораторной работы.

1. Оценить и.

2. Вычислить для метода простых итераций идля метода Чебышева.

3. Написать подпрограмму для расчета невязки

4. Составить программу для метода простых итераций и провести вычисления с указанной точностью.

5. Составить программу для метода Чебышева и провести вычисления с указанной точностью.

Варианты.

Вариант	a	b	Вариант	a	b
1	1	1	16	4	1
2	1	2	17	4	2
3	1	3	18	4	3
4	1	4	19	4	4
5	1	5	20	4	5
6	2	1	21	5	1
7	2	2	22	5	2
8	2	3	23	5	3
9	2	4	24	5	4
10	2	5	25	5	5
11	3	1	26	0	1
12	3	2	27	0	2
13	3	3	28	0	3
14	3	4	29	0	4
15	3	5	30	0	5