- •Введение
- •Лабораторная работа № 1. Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева Метод простых итераций
- •Метод Чебышева
- •Лабораторная работа № 2. Приближённое вычисление интеграла методом Симпсона
- •Порядок выполнения лабораторной работы на эвм.
- •Порядок выполнения лабораторной работы на эвм.
- •Порядок выполнения лабораторной работы на эвм.
- •Варианты заданий.
- •Лабораторная работа № 5. Метод простых итераций решения уравнения
- •0,271828Е 00
- •Варианты заданий.
- •Лабораторная работа № 6. Приближённое решение уравнения методом Ньютона
- •Порядок выполнения лабораторной работы на эвм.
- •Варианты заданий.
- •Лабораторная работа № 7. Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона
- •Порядок выполнения лабораторной работы на эвм.
- •Варианты заданий.
- •Лабораторная работа № 8. Приближённое решение задачи Коши методом Эйлера
- •Порядок выполнения лабораторной работы на эвм.
- •Варианты заданий.
- •Лабораторная работа № 9. Приближённое решение задачи Коши методом РунгеКутта
- •Порядок выполнения лабораторной работы на эвм.
- •Варианты заданий.
- •Лабораторная работа № 10. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом Чебышева
- •Лабораторная работа № 11. Решение задачи Неймана для уравнения Пуассона методом скорейшего спуска
- •1. Постановка задачи
- •2. Теоретическая часть
- •3. Алгоритм
- •2. Задача Дирихле для уравнения Пуассона
- •3. Метод переменных направлений для уравнения Пуассона
- •5. Алгоритм решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона
- •2) Прогонка в направлении оси
- •Прямой ход прогонки
- •Обратный ход прогонки
- •Прямой ход прогонки
- •3. Метод переменных направлений для задачи Дирихле
- •4. Алгоритм решения задачи Дирихле
- •Прямой ход прогонки
Лабораторная работа № 10. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом Чебышева
Постановка задачи
Явным методом Чебышева требуется найти приближённое решение уравнения
(1)
в квадрате с краевыми условиями
, (2)
где – граница квадрата.
Выбираем функцию, удовлетворяющую краевым условиям (2)
.
Вычислим
.
Возьмём по определению в качестве правой части уравнения (1)
,
тогда нам известно точное решение задачи (1), (2).
Теоретическая часть
От задачи (1), (2) перейдём к разностной. Вводим на плоскости прямоугольную сетку с шагомпо направлениюипо направлению. Получим,. Обозначим.
Обозначим через множество внутренних узлов сетки, то есть
,
а через – множество граничных узлов, то есть
.
Пусть далее
Рассмотрим конечномерное пространство функции , заданных на сетке. Здесьи будем обозначать. Обозначим
.
Тогда разностный оператор Лапласа записывается в виде
. (3)
Разностное выражение (3) называется пятиточечным разностным шаблоном, так как содержит значения функции в пяти точках сетки, а именно в точках(см. рис.). Указанное множество точек называется шаблоном разностного оператора Лапласа.
Заменим исходную задачу разностной задачей. При этом будем считать, что , тогда. Разностная аппроксимация задачи (1), (2), принимает вид
, (4)
или более подробно
, (5)
.
Обозначим через пространство функций, заданных наи равных нулю на границесо скалярным произведением
. (6)
В пространстве определим оператор
. (7)
Тогда уравнение (5) можно записать в операторной форме
, (8)
где – функция, заданная на сеткеи. Сеточные функцииибудем рассматривать как вектора– мерного пространствас координатами.
Наименьшее и наибольшее собственные значения оператора равны
,
(9)
.
Метод решения
Разностную задачу (5) будем решать явным итерационным методом с чебышевским набором параметров, который выражается следующей формулой:
, (10)
где ,-заданное число итераций,
. (11)
Алгоритм
Задаём количество итераций, например, , полагаем, тогда шаг сетки=0,1.
По формулам (9), (11) вычисляем ,.
Вычисляем ипо формулам (11).
Полагая по формуле (10) находим.
Этап 4 повторяем, полагая
Итерационный процесс продолжаем до совпадения первых четырех знаков в последних итерациях по циклам.
Оформление результатов работы.
Результаты вычислений представить в виде трех таблиц: две последние итерации и значения точного решения на сетке.