- •Введение
- •Лабораторная работа № 1. Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева Метод простых итераций
- •Метод Чебышева
- •Лабораторная работа № 2. Приближённое вычисление интеграла методом Симпсона
- •Порядок выполнения лабораторной работы на эвм.
- •Порядок выполнения лабораторной работы на эвм.
- •Порядок выполнения лабораторной работы на эвм.
- •Варианты заданий.
- •Лабораторная работа № 5. Метод простых итераций решения уравнения
- •0,271828Е 00
- •Варианты заданий.
- •Лабораторная работа № 6. Приближённое решение уравнения методом Ньютона
- •Порядок выполнения лабораторной работы на эвм.
- •Варианты заданий.
- •Лабораторная работа № 7. Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона
- •Порядок выполнения лабораторной работы на эвм.
- •Варианты заданий.
- •Лабораторная работа № 8. Приближённое решение задачи Коши методом Эйлера
- •Порядок выполнения лабораторной работы на эвм.
- •Варианты заданий.
- •Лабораторная работа № 9. Приближённое решение задачи Коши методом РунгеКутта
- •Порядок выполнения лабораторной работы на эвм.
- •Варианты заданий.
- •Лабораторная работа № 10. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом Чебышева
- •Лабораторная работа № 11. Решение задачи Неймана для уравнения Пуассона методом скорейшего спуска
- •1. Постановка задачи
- •2. Теоретическая часть
- •3. Алгоритм
- •2. Задача Дирихле для уравнения Пуассона
- •3. Метод переменных направлений для уравнения Пуассона
- •5. Алгоритм решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона
- •2) Прогонка в направлении оси
- •Прямой ход прогонки
- •Обратный ход прогонки
- •Прямой ход прогонки
- •3. Метод переменных направлений для задачи Дирихле
- •4. Алгоритм решения задачи Дирихле
- •Прямой ход прогонки
Порядок выполнения лабораторной работы на эвм.
Графически или аналитически отделить корень уравнения . Убедиться, что на найденном отрезкефункцияудовлетворяет условиям сходимости метода Ньютона.
Выбрать начальное приближение корня так, чтобы.
Оценить снизу величину , оценить сверху величину.
По заданному выбрать значениедля условия окончания итерационного процесса.
Составить головную программу и печать результатов.
Провести вычисления по программе.
Варианты заданий.
Найти корень уравнения .
№ варианта |
(x) |
a |
b |
c |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
1.2618 |
1.8433 |
– | |
2 |
2.5237 |
3.6866 |
– | |
3 |
3.47 |
5.0691 |
– | |
4 |
8.8328 |
12.903 |
– | |
5 |
7.571 |
11.06 |
– | |
6 |
5.6782 |
8.2949 |
– | |
7 |
1.2195 |
1.3744 |
0.5 | |
8 |
2.7439 |
3.0924 |
1.0 | |
9 |
3.6585 |
4.1232 |
1.5 | |
10 |
4.2683 |
4.8104 |
2.0 | |
11 |
5.7927 |
6.5284 |
2.5 | |
12 |
7.3171 |
8.2402 |
3.0 | |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
13 |
|
2.33 |
2.857 |
2 |
14 |
4 |
3.8125 |
3.25 | |
15 |
5.33 |
4.59 |
4.25 | |
16 |
6 |
4.99 |
4.75 | |
17 |
7 |
5.5857 |
5.5 | |
18 |
9.667 |
7.176 |
7.5 | |
19 |
0.0714 |
0.933 |
– | |
20 |
0.3889 |
0.72 |
– | |
21 |
0.5476 |
0.6462 |
– | |
22 |
0.6304 |
0.6133 |
– | |
23 |
0.7 |
0.5882 |
– | |
24 |
0.8103 |
0.5524 |
– | |
25 |
0.875 |
0.533 |
– | |
26 |
0.9118 |
0.5231 |
– | |
27 |
0.9595 |
0.5103 |
– |
Лабораторная работа № 7. Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона
Рассмотрим систему нелинейных уравнений снеизвестными
,
, (1)
……………
или в векторной форме
, (1’)
где ,.
Основная идея метода Ньютона состоит в выделении из уравнений системы линейных частей, которые являются главными при малых приращениях аргументов. Это позволяет свести исходную задачу к решению последовательности линейных систем.
Пусть известно некоторое приближение корня. Тогда поправкуможно найти, решая систему
.
Для определения разложим векторную функциюв ряд по. Сохранив только линейные почасти, получим
,
здесь через обозначена матрица производных, если, то, где– матрица, обратная матрице производных.
Таким образом, последовательные приближения корня можно вычислять по формуле
.
Отсюда видно, что метод Ньютона решения системы (1) состоит в построении итерационной последовательности
. (2)
Если , то в достаточно малой окрестности корняитерационный процесс (2) сходится, причём с квадратичной скоростью, т.е..
Если начальное приближение выбрано удачно, то метод Ньютона сходится очень быстро. Поэтому в качестве критерия окончания итерационного процесса можно использовать условие .
Задание. Решить систему нелинейных уравнений.