Варианты заданий.

Найти корень при заданных значениях коэффициентов.

№ варианта	f(x)	a	b	c	d
1		1.5773	2.3041	–	–
2		2.2082	3.2258	–	–
3		3.7855	5.5300	–	–
4		9.1483	13.3641	–	–
5		5.9937	8.7558	–	–
6		7.8864	11.5207	–	–
7		7.622	8.59	0.5	–
8		6.0976	6.872	1.0	–
9		4.5732	5.154	1.5	–
10		3.9634	4.4868	2.0	–
11		3.0488	3.436	2.5	–
12		1.5244	1.718	3.0	–
13		9.33	6.977	7.25	–
14		7.667	5.983	6	–
15		6.67	5.387	5.25	–
16		5.67	4.794	4.5	–
17		4.33	4.008	3.5	–
18		2.67	3.044	2.25	–
19		0.9737	0.5067	–	–
20		0.9286	0.5185	–	–
21		0.5458	0.5391	–	–
22		0.7593	0.5683	–	–
23		0.5909	0.6286	–	–
24		0.4474	0.6909	–	–
25		0.1667	0.8571	–	–
26		0.7308	0.5778	–	–
27		0.833	0.5455	–	–
28		0.1697	–0.5693	–1.6	3.73
29		1.039	–3.145	–1.94	8
30		4.6839	–14.04	–2.448	23.5

Лабораторная работа № 6. Приближённое решение уравнения методом Ньютона

Если известно хорошее начальное приближение решения уравнения , то эффективным методом повышения точности является метод Ньютона (метод касательных). Метод состоит в построении итерационной последовательности, сходящейся к корню уравнения. Сформулируем достаточные условия сходимости метода.

Теорема. Пусть определена и дважды дифференцируема на, причём, а производные,сохраняют знак на отрезке. Тогда, исходя из начального приближения, удовлетворяющего неравенству, можно построить последовательность

,

сходящуюся к единственному на решениюуравнения.

Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию. Если через точку с координатами провести касательную, то абсцисса точки пересечения этой касательной с осьюи есть очередное приближениекорня уравнения.

Для оценки погрешности приближения корня можно воспользоваться неравенством

,

где – наибольшее значение модуля второй производнойна отрезке;– наименьшее значение модуля первой производнойна отрезке. Таким образом, если, то. Последнее соотношение означает, что при хорошем начальном приближении корня после каждой итерации число верных десятичных знаков в очередном приближении удваивается, т.е. процесс сходится очень быстро. Значит, если необходимо найти корень с точностью, то итерационный процесс можно прекращать, когда

.

Опишем один шаг итераций. Если на -м шаге очередное приближениене удовлетворяет условию окончания процесса, то вычисляем величины,и следующее приближение корня. При выполнении условия

величину принимаем за приближённое значение корня, вычисленное с точностью.

Метод Ньютона эффективен, если известно хорошее начальное приближение для корня и в окрестности корня график функции имеет большую крутизну. В том случае процесс быстро сходится. Если же численное значение производной вблизи корня мало, то процесс вычисления корня может оказаться очень долгим.

Задание. Составить программу приближённого вычисления корня уравнения для заданной дважды дифференцируемой функциис точностьюи произвести вычисления на ЕС ЭВМ.