3. Метод переменных направлений для задачи Дирихле

Напишем для задачи (4), (5) двухслойную разностную схему переменных направлений или дробных шагов

, (8)

, (9)

.

В разностной схеме (8), (9) шаг по времени делится на два полушага. Разностное уравнение (8) отвечает первому полушагу, в нём величиныисчитаются уже известными (в частности,), а неизвестные имеют верхний индекс. Правая часть задана. Перепишем разностное уравнение (8), предварительно умножив его на, следующим образом:

(10)

где

известно, и присоединим к разностному уравнению краевые условия

(11)

в соответствии с условием (5).

Разностная задача (10), (11) распадается на независимых трёхточечных разностных краевых задач, отвечающих каждому фиксированному значению,. Разностная краевая задача (10), (11) решается методом прогонки при каждомотдельно. Прогонка осуществляется по индексу, то есть в направлении оси.

После того как найдены все неизвестные на промежуточном слое с номером, переносим их в разностном уравнении (9), соответствующем второму полушагу, вправо. Это разностное уравнение переписываем в виде

, (12),

где

известно, и присоединяем к уравнению (12) в соответствии с условием (5), краевые условия

. (13)

Задача (12), (13) тоже распадается на независимых трёхточечных разностных краевых задач, отвечающих каждому фиксированному,. Каждая такая задача решается методом прогонки. Прогонка осуществляется теперь уже по индексу, то есть в направлении оси.

4. Алгоритм решения задачи Дирихле

Как уже было замечено выше, будем искать решение задачи Дирихле для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами в области

1. Начальные условия

–натуральное число, шаг пои по.

– начальное приближение. Полагаем

2. Прогонка в направлении оси

Решим методом прогонки при каждом фиксированном систему уравнений (10)

,

где

известно. Обозначим

,

тогда уравнение (10) можно записать в виде:

, (10*)

где

,

Прогонка осуществляется при каждом фиксированном .

Прямой ход прогонки

Вычислим коэффициенты

Так как , то получаем

После того, как будут вычислены коэффициенты вычислим

Так как , то получаем.

При получаем

Обратный ход прогонки

После того как будут найдены все найдём все неизвестныепо формуле

Таким образом вычисляются в силу граничных условий.

3. Прогонка в направлении оси

Решим методом прогонки при каждом фиксированном систему уравнений (12)

,

где известно из предыдущих вычислений. Обозначим

и перепишем систему уравнений (12) в виде:

, (12*),

где

.

Прогонка осуществляется при каждом фиксированном .

Прямой ход прогонки

Вычислим коэффициенты

.

Так как , то получаем

После того, как будут вычислены коэффициенты вычислим

Так как , то получаем.

При получаем

Обратный ход прогонки

После того как будут найдены все найдём все неизвестныепо формуле

Таким образом вычисляются известно из начальных условий.

5. Оформление результатов работы

Результаты вычислений представить в виде трех таблиц: две последние итерации с совпадающими первыми четырьмя знаками и значений точного решения на сетке.

Лабораторная работа № 14

Решение первой начальной краевой задачи для уравнения теплопроводности по схеме Кранка-Николсона

1. Постановка задачи

Используя метод простых итераций, метод Чебышева и метод наискорейшего спуска найти по схеме Кранка-Николсона приближенное решение задачи:

(1)

(2)

(3)

Пусть , где(n- номер варианта). Найти при которыхявляется точным решением задачи (1) – (3). При найденныхинайти приближенное решение задачи (1) – (3), используя схему Кранка-Николсона и перечисленные выше методы решения стационарных задач.

2. Теоретическая часть

Сведем задачу к разностной задаче, используя схему Кранка-Николсона и разностное приближение оператора Лапласа.

, (4)

, (5)

, (6)

где

Из (4) получим, что обозначаяполучим операторное уравнениегдеТаким образом, решение задачи (4) – (6) сводится к последовательному решению операторных уравнений

(7)

на временной сетке (по временным слоям). Для собственных значений оператор получаем оценки

(8)

Решение уравнения (7) при фиксированном (на временном слое) будем искать итерационными методами

(9)

полагая где– последняя итерацияна предыдущем временном слое.

3. Алгоритм метода простых итераций k-time n-iteration

В итерационном процессе (9) полагаем . Учитывая (8), получаем

. (10)

Итерационный процесс (9) принимает вид:

(11)

Полагая получим.

4. Алгоритм метода Чебышева

В итерационном процессе (9) вычисляется по формуле

(12)

где вычисляется по формуле (10), а

(13)

Здесь N фиксированный параметр, например можно положить N=5. По формуле

(14)

и находим Далее повторяем итерационный процесс (14), полагая. Процесс продолжаем до совпадения первых четырех знаков в последних итерациях.

5. Алгоритм метода скорейшего спуска

Итерационный процесс осуществляется по формуле (14), где параметры вычисляются по формуле

В новых обозначениях (14) можно записать в виде:

(15)

6. Оформление результатов работы

Найти приближенное решение задачи (1) - (3) указанными выше методами при , полагаяРезультаты вычислений по каждому методу представить в виде трех таблиц: две последовательные итерациис совпадением первых четырех знаков и значение точного решенияна сетке при

Учебное издание

Голичев Иосиф Иосифович

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Подписано в печать 04.09.2006. Формат 60х84 1/16.

Печать плоская. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс.

Усл.печ.л. 3,2. Усл. кр.-отт. 3,2. Уч. Изд.л.3,1.

Тираж 100 экз. Заказ №

ГОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический университет

Редакционно-издательский комплекс УГАТУ

450000, Уфа-центр, ул. К. Маркса, 12

3