3. Алгоритм

1) Задаём , начальное приближение

2) Вычисляем параметры по формуле

3) Вычисляем по формуле (7).

4) Через 10 итераций подправляем по формуле (8).

5) Вычисление проверить до совпадения первых четырех знаков в последних итерациях.

4. Оформление результатов работы.

Результаты вычислений представить в виде трех таблиц: две последовательные итерации с совпадением первых четырех знаков и значение точного решения на сетке.

Лабораторная работа № 12.

Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона

методом переменных направлений

1. Постановка задачи

1) Методом переменных направлений решить задачу Дирихле для уравнения Пуассона

(1)

, (2)

в области , где– граница квадрата. Пусть

, (3)

тогда – точное решение задачи (1), (2).

Написать программы для реализации метода переменных направлений на любом языке программирования. Оценить точность решения задачи.

2. Задача Дирихле для уравнения Пуассона

Пусть – замкнутый квадрат,– его граница,– заданная надостаточно гладкая функция. Задача Дирихле состоит в следующем: требуется найти непрерывную нафункцию, удовлетворяющую на открытом квадратеуравнению Пуассона (1) и обращается в 0 на границе квадрата.

Задача Дирихле (1), (2) имеет единственное решение . Положим,. Построим сетки

,

,

(– множество узлов, лежащих на).

Заменим исходную дифференциальную задачу (1), (2) разностной задачей

(4)

на . (5)

Введём обозначения:

, (6)

, (7)

.

Таким образом, наше уравнение (4) можно переписать в виде

. (4*)

3. Метод переменных направлений для уравнения Пуассона

Сопоставим задачу (1), (2) с родственной её нестационарной задачей о распространении тепла.

Пусть

То есть – множество граничных точек прямоугольного параллелепипеда, не принадлежащих,– заданная надостаточно гладкая функция.

Требуется найти непрерывную на функцию, удовлетворяющую науравнению теплопроводности

, (8)

и кроме того, подчиняющуюся на дополнительному условию

на . (9)

Условие (9) включает в себя как начальное условие при, так и однородные краевые условия первого рода.

Смешанная задача (8), (9) имеет единственное решение .

В задаче (8), (9) источник тепла и температура на границене зависят от времени. Естественно ожидать поэтому, что прибудет выполнятся соотношение, откуда

,

поэтому можно предположить, что для достаточно больших значений , например для, будет с необходимой точностью верно приближённое равенство. Здесь положена в основу идея о стабилизации прирешения уравнения теплопроводности к решению уравнения Пуассона, еслине зависит от, т.е.

.

На этой закономерности основана идея метода решения стационарных задач, состоящая в замене их подходящими нестационарными задачами. Этот метод и ряд его модификаций принято называть методом установления.

Запишем для задачи (8), (9) простейшую двухслойную разностную схему

на

и двухслойную разностную схему переменных направлений или дробных шагов

, (10)

, (11)

.

В разностной схеме (10), (11) шаг по времени делится на два полушага. Разностное уравнение (10) отвечает первому полушагу, в нём величиныисчитаются уже известными (в частности,), а неизвестные имеют верхний индекс. Правая часть задана. Перепишем разностное уравнение (10), предварительно умножив его на, следующим образом:

, (12)

где

известно, и присоединим к разностному уравнению краевые условия

, (13)

в соответствии с условием (9).

Разностная задача (12), (13) распадается на независимых трёхточечных разностных краевых задач, отвечающих каждому фиксированному значению,. Разностная краевая задача (12), (13) решается методом прогонки при каждомотдельно. Прогонка осуществляется по индексу, то есть в направлении оси.

После того как найдены все неизвестные на промежуточном слое с номером, переносим их в разностном уравнении (11), соответствующем второму полушагу, вправо. Это разностное уравнение переписываем в виде

, (14)

где

известно, и присоединяем к уравнению (14) в соответствии с условием (9) краевые условия

, . (15)

Задача (14), (15) тоже не распадается на независимых трёхточечных разностных краевых задач, отвечающих каждому фиксированному. Каждая такая задача решается методом прогонки. Прогонка осуществляется теперь уже по индексу, то есть в направлении оси.

4. Метод прогонки

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений следующего специального вида:

,

,

где – неизвестные,– заданные числа, причём

.

Решение ищем по формуле

, (*)

где . (**)

Таким образом, коэффициенты уравнений (*), связывающих соседние значения можно определить из рекуррентных соотношений (**), поскольку,заданы.

Находим неизвестную по формуле

(***)

и в обратном порядке находим все неизвестные . Процесс вычисления коэффициентовпо формулам (**) называетсяпрямым ходом прогонки, а нахождение неизвестных , по формулам (***), (*) –обратным ходом прогонки.