5. Алгоритм решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона

Как уже было замечено выше, будем искать решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в области

1. начальные условия

–натуральное число, шаг пои по.

– начальное приближение. Полагаем

2) Прогонка в направлении оси

Решим методом прогонки при каждом фиксированном систему уравнений (12)

,

где известно,

.

Перепишем уравнение (12) в виде:

, (12*)

где

.

При получаем

(12*),

где

Прогонка осуществляется при каждом фиксированном .

Прямой ход прогонки

Вычислим коэффициенты

.

Так как , то получаем

и далее

.

После того, как будут вычислены коэффициенты , вычислим

.

Так как , то получаем.

При получаем

Обратный ход прогонки

После того как будут найдены все найдём все неизвестныепо формуле

.

Таким образом, вычисляются из начальных условий.

При получаем

3. Прогонка в направлении оси .

Решим методом прогонки при каждом фиксированном систему уравнений (14)

, (14)

где известно из предыдущих вычислений,

,

в силу граничных условий.

Перепишем систему уравнений (14) в виде:

, (14*)

где

,

При получаем

,

где

Прогонка осуществляется при каждом фиксированном .

Прямой ход прогонки

Вычисляем коэффициенты

Так как , то получаем

После этого, как будут вычислены коэффициенты вычислим

.

Так как , то получаем.

При получаем

,

.

Обратный ход прогонки

После того как будут найдены все найдём все неизвестныепо формуле

.

Таким образом вычисляются известно из краевых условий.

При получаем

6. Оформление результатов работы.

Результаты вычислений представить в виде трех таблиц: две последовательные итерации с совпадающими первыми четырьмя знаками и значение точного решения на сетке.

Лабораторная работа № 13.

Решение задачи Дирихле для линейного эллиптического

уравнения с переменными коэффициентами

1. Постановка задачи

1. Методом переменных направлений решить задачу Дирихле для уравнения

, (1)

(2)

в области , где– граница квадрата.

,

,

,

–точное решение задачи (1), (2).

2. Разностная аппроксимация задачи

Пусть – замкнутый квадрат,– его граница,– заданная надостаточно гладкая функция. Задача Дирихле состоит в следующем. Требуется найти непрерывную нафункцию, удовлетворяющую на открытом квадратеуравнению (1) и обращается вна границе квадрата.

Функции достаточно гладкие, удовлетворяющие условиям

,

(3)

Задача Дирихле (1), (2) имеет единственное решение . Положим,,,. Построим сетки

(– множество узлов, лежащих на )

Заменим исходную дифференциальную задачу (1), (2) разностной задачей.

, (4)

на (5)

,

,

.

Введём обозначения:

, (6)

, (7)

.