Лабораторная работа № 11. Решение задачи Неймана для уравнения Пуассона методом скорейшего спуска

1. Постановка задачи

Явным методом Чебышева требуется приближенно решить однородную задачу Неймана для уравнения Пуассона в квадрате , которая состоит в следующем: найти функцию, удовлетворяющую уравнению Пуассона и краевым условиям

, (1)

, (2)

где – граница квадрата,– внешняя нормаль к.

Функция, удовлетворяющая краевым условиям (2)

.

Вычислим

.

Возьмём по определению в качестве правой части уравнения (1)

.

2. Теоретическая часть

Для аппроксимации производной в граничных условиях (2) используем формулы второго порядка точности через центральные разности. Для этого вводим дополнительные точки за пределами сеточной области . Получаем:

(3)

.

На расширенной сетке аппроксимируем задачу (1), (2) в виде

,

. Пользуясь соотношениями (3), дополнительные неизвестные исключаем. Тогда получим

, ,

,

,

(4)

,

,

,

Обозначим через пространство функций, заданных на сеткесо скалярным произведением

Сеточную функцию будем рассматривать как вектор с координатами. В пространствеопределим оператор, который сеточной функциис координатамисопоставляет сеточную функциюс координатами, гдеопределяется левыми частями уравнений (4). То есть

Таким образом, краевая задача (1), (2) аппроксимируется операторным уравнением

, (5)

где – сеточная функция,. Заметим, что операторсимметрический и однородное уравнение

(6)

имеет нетривиальные решения на сетке, кроме того, любое решение (6) естьна. Обозначимподпространство сеточных функций из, ортогональных(например ортогональных кна). Такую функцию будем обозначать.принадлежиттогда и только тогда, когда

.

Заметим, что принадлежитпри любомиз. Действительно, поскольку, то

.

Отсюда следует, что уравнение (5) имеет решение тогда и только тогда, когда принадлежити любое решение определено с точностью дона.

Условимся выбирать решение уравнения (5) принадлежащее . Есликакое-то решение (5), топринадлежит, где

,

а – сеточная функция, равнаяна всех точках сетки. Действительно, поэтому

.

Уравнение (5) на подпространстве невырожденное и

,

где – наибольшее собственное значение оператора,– наименьшее неравное нулю собственное значение. Если для решения уравнения (5) мы воспользуемся итерационным процессом, то нужно следить, чтобы итерации не выходили из. Этого легко добиться при использовании явного итерационного процесса

В этом случае

(7)

Откуда следует, что если .

Заметим здесь, что если для решения задачи (5) потребуется большое число итераций, то, в силу накопления погрешностей может выходить из, поэтому следует через некоторое количество итераций подправлять, то есть заменятьна

. (8)