6.2 Многошаговые разностные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

,

(6.10)

где .

Для решения задачи Коши для уравнения (1) при t>0 введем равномерную сетку с постоянным шагом .

Введем понятие линейного mшагового разностного метода для решения задачи (6.10). Линейнымm-шаговым методом называется система разностных уравнений

,

(6.11)

где: n=m,m+1...;-числовые коэффициенты не зависящие отn; k=0,1,…,m.

Систему (6.11) будем рассматривать как рекуррентные соотношения, выражающие новое значения через ранее найденные значения, причем расчет начинают с индексаn=m, т.е. с уравнения

.

Отсюда следует, что для начала расчета по формулам (6.11) надо знать mпредыдущих значений функцииy, причемy=u. Эти предыдущиеmзначений могут быть найдены одним из одношаговых методов Рунге-Кутта.

Отличие от одношаговых методов состоит в том, что по формулам (6.11) расчет ведется только в точках сетки.

Определение.Метод (6.11) называетсяявным, если коэффициентb=0. Тогда значениелегко выражается через. В противном случае метод называетсянеявным, и для нахожденияyпридется решать нелинейное уравнение вида

.

(6.12)

Обычно это уравнение решают методом Ньютона при начальном значении . Коэффициенты уравнения (6.11) определены с точностью до множителя, тогда, чтобы устранить этот произвол, вводят условие, с тем условием, что правая часть (6.11) аппроксимирует правую часть уравнения (6.10).

На практике используют частный случай методов (6.11), т.н. методы Адамса, т.е. когда производная аппроксимируется разностным отношением, включающим две соседние точкии. Тогда ;=0,k=2,...,mи

.

(6.13)

Это и есть методы Адамса. При b=0 метод будет явным, в противном случае - неявным.

6.2.1 Задача подбора числовых коэффициентов a_к , b_к

Выясним, как влияют коэффициенты a_k, b_kна погрешность аппроксимации уравнения (6.11), на устойчивость и сходимость.

Определение.Невязкой, или погрешностью аппроксимации методов (6.11) называется функция

,

(6.14)

где -точное решение дифференциального уравнения (6.10).

Если разложить функции в ряд Тейлора в точкахравномерной сетки, окончательно получим функцию

.

(6.15)

Из вида функции следует, что порядок аппроксимации будет равенp, если выполнены условия

(6.16)

где l=1,...,p.

Условия (6.16) представляют собой СЛАУ относительно неизвестных ,. Их количество равно 2(m+1). Решив систему (6.16), получаем неизвестные числовые коэффициенты. Для неявных методов наивысшим порядком аппроксимацииp=2m, а для неявных –p=2m-1.

Запишем систему (6.16) для методов Адамса

(6.17)

где l=2,...,p. Отсюда наивысший порядок аппроксимации для неявного методаp=m+1, для явного –p=m.

6.2.2 Устойчивость и сходимость многошаговых разностных методов

Наряду с системами уравнений (6.11) будем рассматривать т.н. однородные разностные уравнения вида

,

(6.18)

где n=m,m+1,... .