Решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений
Метод простых итераций
Порядок выполнения лабораторной работы:
Найти нулевое приближение решения;
Преобразовать систему f(x) = 0 к виду х = Ф(х);
Проверить условие сходимости метода.
Схема алгоритма приведена на рисунке 20.
Пример. Решить методом простых итераций систему
В качестве нулевого приближения выберем точку х=1, у = 2.2, z= 2. Преобразуем систему к виду
Текст программы:
PROCEDURE Iteraz;
Var I,J,K,J1 : Integer;
S,U,U1 : Real;
X2,X3,Eps : Real;
R : tvector;
Begin
Eps:=0.01; X2:=0.0; K:=1;
Repeat
For J:=1 To Nn Do Begin
S:=0.0;
For I:=1 To Nn Do Begin S:=S+Aa[i,j]*Xx[i]; End;
R[j]:=S; End;
For J1:=1 To Nn Do Begin Xx[j1]:=R[j1]; End; X3:=Xx[1];
For I:=1 To Nn Do Begin If (Xx[i]>=X3) Then X3:=Xx[i]; Еnd;
For I:=1 To Nn Do Begin Xx[i]:=Xx[i]/X3; End;
X1:=X3; U:=Abs(X2-X1); U1:=U/Abs(X1);
If (U1>=Eps) Then X2:=X1;
K:=K+1;
Until ((K>=50)or(U1<=1e-4)) End;
Вычисления по программе привели к следующим результатам:
X(1)= 1.1132 Х(2)= 2.3718 Х(3)= 2.1365
Количество итераций:5
Рисунок 20 - Схема алгоритма метода простых итераций
Метод Ньютона
Программу можно использовать для решения систем не выше десятого порядка.
Входные параметры:
n— число уравнений системы
(совпадает с числом неизвестных),n£10;
х—массив изnдействительных
чисел, содержащий начальное приближение
решения;f— имя внешней
процедурыf(n,
х, у), вычисляющей по заданным значениям
х, расположенным в элементах массива
х, текущие значения функцииfи размещающей их в элементах массива
у;g— имя внешней процедурыg(n,x,d), вычисляющей по заданным
значениям х из массива х элементы
матрицы
,которая
размещается в массивеdразмерностиnxn;eps—
значение условия окончания итерационного
процесса.
Выходные параметры: х — массив из nдействительных чисел (он же входной) содержит при выходе из подпрограммы приближенное значение решения;k—количество итераций.
Порядок выполнения лабораторной работы:
Определить из геометрических соображений начальное приближение решения.
Составить подпрограммы fиgдля вычисления значенийfи
.Составить головную программу, содержащую описание массива х, имен fиg, присвоение фактических значений параметрамn, х,eps, обращение к ТNUTONи печать результатов.
4. Провести вычисления на ЭВМ.
Схема алгоритма приведена на рисунке 21.
Пример. Решить систему уравнений
Текст программы:
procedure TNuton;
var a: T2DArray; i, j: byte; finish: boolean;
begin
IterCount:= 0;
SetLength(a, UrCount);
for i:= 0 to High(a) do SetLength(a[i], UrCount + 1);
repeat { Заполнение матрицы частных производных }
for i:= 0 to High(a) do begin
for j:= 0 to High(a[i])-1 do a[i, j]:= DerivativeFn(i, j, Results);
a[i, High(a[i])]:= -Poliz.ExternFn(i, Results);
end; { Решение полученной СЛАУ методом Гаусса }
SetLength(Gauss.Base, Length(a));
for i:= 0 to High(a) do begin
SetLength(Gauss.Base[i], Length(a[i]));
for j:= 0 to High(a[i]) do
Gauss.Base[i, j]:= a[i, j]; end; try
Gauss.Solve;
except
raise Exception.Create('Данную систему этим методом решить невозможно!');
end; { Получение очередного приближения решения СНАУ }
finish:= false;
for i:= 0 to High(Results) do begin
Results[i]:= Results[i] + Gauss.Results[i];
if not finish then finish:= (Abs(Gauss.Results[i]/Results[i]) > Eps);
end; inc(IterCount);
until not finish;
end;
В результате вычисления по программе получены следующие результаты:
X(1)= 1.1132 Х(2)= 2.3718 Х(3)= 2.1365
Количество итераций:4
Рисунок 21 - Схема алгоритма метода Ньютона
Варианты заданий
Таблица 4
|
1 |
|
16 |
|
|
2 |
|
17 |
|
|
3 |
|
18 |
sin(y+l)-x=l,2 2y+cos x = 2. |
|
4 |
sinу+2х=2 cos(x-1)+y = 0,7
|
19 |
sin(y+0,5)-x=l cos(x-2)+y =0 |
|
5 |
sin(y-l)+x=l,3 y-sin(x+l)=0,8 |
20 |
cos(y+0,5)-x = 2 sin x —2y= 1 |
|
6 |
sin(x+l)-y=l 2x+cos y = 2 |
21 |
Sin x+2y= 1,6 cos(y-1)+x=l |
|
7 |
sin(x+0,5)-y=1,2 cos(y-2)+x = 0 |
22 |
Cos(x-l)+y = 0,5 x –cos y = 3 |
|
8 |
cos x+y= 1,5 2x-sin(y-0,5)=l |
23 |
Cos(x+0,5)+у = 0,8 sin y — 2x=l,6 |
|
9 |
2y-cos(x+l)=0 x+sin y= -0,4 |
24 |
|
|
10 |
cos(y-l)+x=0,5 y-cos x = 3
|
25 |
cos y+x=l,5 2y-sin(x-0,5)=l |
|
11 |
cos(y+0,5) + x=0,8 sin x-2y=l,6
|
26 |
2x-cos(y+l) = 0 y+sin x= -0,4 |
|
12 |
sin(y + 2)-x=l,5 y+cos(x-2)=0,5.
|
27 |
cos(x-l)+y=0,8 x—cos y=2 |
|
13 |
Cos x+y= 1,2 2x-sin(y-0,5) = 2.
|
28 |
cos(x+0,5)+y=l siny—2x=2 |
|
14 |
Sin(x-1)+y= 1,5 х - sin(y+ 1)= 1
|
29 |
sin(у+1)-х=1 2y+cos x = 2 |
|
15 |
Cos(y-l)+x=0,8 y-cos x=2.
|
30 |
cos(x-l)+y=l sin y+2x= 1,6 |
Тема лабораторной работы №4 для контроля знаний проиллюстрирована контрольно – обучающей программой.
Лабораторная работа № 5
Решение проблемы собственных значений и собственных векторов
Точные методы