1.2 Итерационные методы решений систем алгебраических уравнений

Итерационные методы обычно применяются для решения систем большой размерности и они требуют приведения исходной системы к специальному виду.

Суть итерационных методов заключается в том, что решение хсистемы (1.1) находится как предел последовательности.

Так как за конечное число итераций предел не может быть достигнут, то задаётся малое число - точность, и последовательные приближения вычисляют до тех пор, пока не будет выполнено неравенство

,

где n=n()– функция,- норма вектора.

Прямые методы рассчитаны для решения систем, если её порядок не больше 100, иначе используются итерационные методы.

1.2.1 Метод Якоби (простых итераций)

Исходную систему

Ах=В(1.11)

преобразуем к виду:

(1.12)

где i=1,2,...,m; a_ii0.

Первая сумма равна нулю, если верхний предел суммирования меньше нижнего.

Так (1.12) при i=1 имеет вид

По методу Якоби (метод простых итераций) (n+1 приближениех_i) ищем по формуле

(1.13)

где n – номер итерации (0,1,…,); i=.

Итерационный процесс (1.13) начинается с начальных значений , которые в общем случае задаются произвольно, но предпочтительнее, если завзять свободные члены исходной системы.

Условие окончания счета:

,

где i=.

1.2.2 Метод Зейделя

Система (1.11) преобразуется к виду (1.12) и организуем итерационную процедуру, где неизвестные х_i на n+1 шаге определяются по формулам

(1.14)

Например,

(1.15)

(1.16)

и так далее.

Итерационные процессы (1.13) и (1.14) сходятся, если норма матрицы А (А - матрица коэффициентов при неизвестных в правой части систем (1.13) и (1.14)) удовлетворяет условию:

.

1.2.3 Матричная запись методов Якоби и Зейделя

Исходную матрицу системы (1.11) представим в виде суммы трёх матриц

A=A₁+D+A₂,

где D - диагональная матрица;

D =diаg[а₁₁а₂₂…а_mm];

A₁- нижняя треугольная матрица;

A₂- верхняя треугольная матрица.

Пример: Дана матрица размерности (33):

.

А₁ А₂ D

Тогда исходную систему (1.11) можно записать в виде

x=-D^-1A₁ x – D^-1A₂ x+D^-1 b.

Тогда метод Якоби можно записать в виде:

или

. (1.17)

В матричной форме метод Зейделя будет выглядеть:

или

. (1.18)

Преобразуем формулы (1.17) и (1.18):

, (1.19)

. (1.20)

Из (1.19) и (1.20) видно, что если итерационный метод сходится, то он сходится к точному решению. Иногда при решении задач большой размерности, в итерационные методы вводятся числовые параметры, которые могут зависеть от номера итерации.

Пример для метода Якоби.

,

где t – числовой параметр.

Возникают вопросы:

1. При каких значениях t сходимость будет наиболее быстрой?

2. При каких значениях t метод сходится?

На примере двух методов просматривается вывод о том, что одни и те же методы можно записывать несколькими способами. Поэтому вводят каноническую (стандартную) форму записи:

. (1.21)

Формула (1.21) получена путем объединения (1.19) и (1.20).

Матрица D_n+1здесь задает тот или иной метод. Если существует обратная матрица к этой матрице, то из последней системы мы можем найти все неизвестные.

1. Метод (1.21) – явный, если матрица D_nсовпадает с единичной матрицей и неявный - в противном случае.

2. Метод (1.21) – стационарный, если матрица D_n+1= D, и параметр t не зависит от номера итерации и нестационарный - в противном случае.

1.2.4 Метод Ричардсона

Явный метод с переменным параметром t:

, (1.21а)

называется методом Ричардсона.

1.2.5 Метод верхней релаксации (обобщённый метод Зейделя)

, (1.21б)

где - числовой параметр.

Если матрица А - симметричная и положительно определена, то последний метод сходится при (0 <  < 2). Последнюю формулу запишем в следующем виде:

, (1.22)

где Е - единичная матрица.

Тогда для вычисления неизвестных х_i (i=) можно записать итерационную процедуру в виде:

. (1.23)

Например, для х₁ это будет такое выражение:

.

1.2.6 Сходимость итерационных методов