Рассмотрим систему

Ax=B,

где А- невырожденная действительная матрица.

Для решения системы рассмотрим одношаговый стационарный метод

, (1.24)

при n=0,1,2….

Предположим, что задан начальный вектор решения. Тогда метод (1.24) сходится, если норма вектора

Теорема. Условие сходимости итерационного метода.

Пусть А - симметричная положительно определенная матрица и выполнено условие D - 0.5tA > 0 (где t > 0). Тогда метод (1.24) сходится.

Следствие 1. Пусть А - симметричная и положительно определенная матрица с диагональным преобладанием, то есть:

,

при j=1,2,…,m. Тогда метод Якоби сходится.

Следствие 2.Пусть А - симметричная и положительно определенная матрица с диагональным преобладанием, тогда метод верхней релаксации сходится при (0<<2).

Проверяется, при каком  - метод достигает заданной точности быстрее. В частности, при =1 метод верхней релаксации превращается в метод Зейделя, следовательно, при =1 метод Зейделя сходится.

Теорема.Итерационный метод (1.24) сходится при любом начальном векторе x⁰ тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы

по модулю меньше единицы.

2 Плохо обусловленные системы линейных алгебраических уравнений

Дана система линейных алгебраических уравнений

Ах=В. (2.1)

Если система плохо обусловлена, то это значит, что погрешности коэффициентов матрицы А и правых частей B или же погрешности их округления сильно искажают решение системы. В качестве примера рассмотрим систему

Решение этой системы

x₁1.981

x₂0.4735.

Оценим влияние погрешности правых частей на результат. Рассмотрим “возмущенную” систему с правой частью b^* = (2.505 , 2.415) и решим эту систему:

x₁^*2.877

x₂^*-0.4629.

Относительная погрешность правой части (в) = 0.005/2.510.28% привела к относительной погрешности решения(x^*) =0.9364/1.98147.3%.

Погрешность возросла примерно в 237 раз. Число обусловленности системы (2.1) приблизительно равна 237.

Подобные системы называются плохо обусловленными.

х₁ а) х₁ б) х₁с)

1)

2)

3)

х₂

х₂ х₂

Рисунок 2 - а) система имеет единственное решение;

б) система не имеет решения;

с) система плохо обусловлена.

В случае с) малейшее возмущение системы сильно меняет положение точки пересечения прямых. Встаёт задача – какими методами можно решать эти системы.

Для оценки обусловленности системы вводят число обусловленности M_А

.

Чем больше M_А, тем система хуже обусловлена.

Свойства числа обусловленности:

1) М_Е=1;

2) M_А 1;

3) M_А, где_мах,_min- соответственно максимальное и минимальное собственные числа матрицы А;

4) M_АВM_А* M_В;

5) Число обусловленности матрицы А не меняется при умножении матрицы на произвольное число 0.

Найдем выражение для полной оценки погрешности решения системы.

Пусть в системе (2.1) возмущены коэффициенты матрицы А и правая часть В, т.е.

, ,.

Теорема.Пусть матрица имеет обратную матрицу, и выполняется условие. Тогда матрицаимеет обратную и справедлива следующая оценка относительной погрешности:

.

2.1 Метод регуляризации для решения плохо обусловленных систем

Рассмотрим систему

Ах=В. (2.1)

Для краткости перепишем эту систему в эквивалентный форме

. (2.2)

Для примера рассмотрим систему

.