- •Министерство образования рф
- •Содержание
- •Введение Математическое моделирование и вычислительный эксперимент
- •Численные методы алгебры и анализа
- •1 Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •1.1 Точные методы
- •1.1.1 Метод Гаусса
- •1.2 Итерационные методы решений систем алгебраических уравнений
- •1.2.1 Метод Якоби (простых итераций)
- •Рассмотрим систему
- •Для решения системы рассмотрим одношаговый стационарный метод
- •2 Плохо обусловленные системы линейных алгебраических уравнений
- •Погрешность возросла примерно в 237 раз. Число обусловленности системы (2.1) приблизительно равна 237.
- •2.1 Метод регуляризации для решения плохо обусловленных систем
- •Тогда ее можно представить как
- •2.2 Метод вращения (Гивенса)
- •В матричной форме получаем , где,.
- •3 Решение нелинейных уравнений
- •3.1 Метод простых итераций
- •Пример. Рассмотрим предыдущий пример и приведем систему к удобному для итераций виду
- •3.2 Метод Ньютона
- •Формула (3.7) и есть итерационная формула метода Ньютона для приближенного решения системы нелинейных уравнений.
- •3.2.1 Сходимость метода
- •4 Решение проблемы собственных значений
- •4.1 Прямые методы
- •У которой, как известно, собственными числами являются диагональные элементы.
- •4.1.4 Метод итераций определения первого собственного числа матрицы.
- •5 Задача приближения функции
- •Пример. При mn система функций 1,х,х2,…,хm линейно независима в точках х0,х1,…,хn, если они попарно различны.
- •5.1 Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •5.1.1 Оценка погрешности интерполяционного многочлена
- •5.2 Интерполяционные полиномы Ньютона
- •Аналогично третья конечная разность
- •Вычислим первую конечную разность многочлена Pn(X) в точке х0
- •5.3 Интерполирование сплайнами
- •5.3.1 Построение кубического сплайна
- •5.4 Аппроксимация функций методом наименьших квадратов
- •6 Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений исистем дифференциальных уравнений
- •6.1 Семейство одношаговых методов решения задачи Коши
- •6.2 Многошаговые разностные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Будем искать его решение в виде функции
- •6.3 Численное интегрирование жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений
- •6.4 Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •6.5 Решение линейной краевой задачи
- •Причем- для первой задачи.
- •6.6 Решение двухточечной краевой задачи для линейного уравнения второго порядка сведением к задаче Коши
- •Отсюда следует, что
- •6.7 Методы численного решения двухточечной краевой задачи для линейного уравнения второго порядка
- •Подставляя это выражение в уравнение (6.54), получим
- •7 Приближенное решение дифференциальных уравнений в частных производных
- •7.1 Метод сеток для решения смешанной задачи для уравнения параболического типа (уравнения теплопроводности)
- •Задано начальное условие
- •7.2 Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток
- •7.3 Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
- •Лабораторная работа № 1 Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •Порядок выполнения лабораторной работы:
- •Текст программы:
- •Варианты заданий
- •Лабораторная работа № 3
- •Решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений
- •Порядок выполнения лабораторной работы:
- •Метод Леверрье
- •Метод Фадеева
- •Текст программы:
- •Метод Крылова
- •Метод qr-разложения
- •Текст программы:
- •Метод обратных итераций
- •Текст программы:
- •Варианты заданий
- •Вычисления по программе привели к следующим результатам:
- •Квадратурная формула Гаусса
- •Дифференцирование с помощью сплайнов
- •Список использованной литературы
Список использованной литературы
Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Конченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров – М.: Высшая школа, 1994 – 544 с.
Бахвалов Н.С. Численные методы – М.: Наука, 1973 – 631 с.
Волков Е.А. Численные методы – М.: Наука, 1987 – 256 с.
Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практика по численным методам – М.: Высшая школа, 1979 – 184 с.
Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. - Численные методы анализа – М.: Наука, 1967 – 368 с.
Калиткин Н.Н. Численные методы – М.: Наука, 1978 – 512 с.
Конченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах - М.: Наука, 1972 – 246 с.
Марчук Г.И. Методы вычислительной математики – М.: Наука, 1989 – 372 с.
Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей математике – М.: Высшая школа, 1994 – 416 с.
Самарский А.А. Введение в численные методы - М.: Наука, 1982 – 287 с.
Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы - М.: Наука, 1989 – 429 с.
Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров - М.: Наука, 1972 – 400 с.