
- •Министерство образования рф
- •Содержание
- •Введение Математическое моделирование и вычислительный эксперимент
- •Численные методы алгебры и анализа
- •1 Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •1.1 Точные методы
- •1.1.1 Метод Гаусса
- •1.2 Итерационные методы решений систем алгебраических уравнений
- •1.2.1 Метод Якоби (простых итераций)
- •Рассмотрим систему
- •Для решения системы рассмотрим одношаговый стационарный метод
- •2 Плохо обусловленные системы линейных алгебраических уравнений
- •Погрешность возросла примерно в 237 раз. Число обусловленности системы (2.1) приблизительно равна 237.
- •2.1 Метод регуляризации для решения плохо обусловленных систем
- •Тогда ее можно представить как
- •2.2 Метод вращения (Гивенса)
- •В матричной форме получаем , где,.
- •3 Решение нелинейных уравнений
- •3.1 Метод простых итераций
- •Пример. Рассмотрим предыдущий пример и приведем систему к удобному для итераций виду
- •3.2 Метод Ньютона
- •Формула (3.7) и есть итерационная формула метода Ньютона для приближенного решения системы нелинейных уравнений.
- •3.2.1 Сходимость метода
- •4 Решение проблемы собственных значений
- •4.1 Прямые методы
- •У которой, как известно, собственными числами являются диагональные элементы.
- •4.1.4 Метод итераций определения первого собственного числа матрицы.
- •5 Задача приближения функции
- •Пример. При mn система функций 1,х,х2,…,хm линейно независима в точках х0,х1,…,хn, если они попарно различны.
- •5.1 Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •5.1.1 Оценка погрешности интерполяционного многочлена
- •5.2 Интерполяционные полиномы Ньютона
- •Аналогично третья конечная разность
- •Вычислим первую конечную разность многочлена Pn(X) в точке х0
- •5.3 Интерполирование сплайнами
- •5.3.1 Построение кубического сплайна
- •5.4 Аппроксимация функций методом наименьших квадратов
- •6 Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений исистем дифференциальных уравнений
- •6.1 Семейство одношаговых методов решения задачи Коши
- •6.2 Многошаговые разностные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Будем искать его решение в виде функции
- •6.3 Численное интегрирование жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений
- •6.4 Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •6.5 Решение линейной краевой задачи
- •Причем- для первой задачи.
- •6.6 Решение двухточечной краевой задачи для линейного уравнения второго порядка сведением к задаче Коши
- •Отсюда следует, что
- •6.7 Методы численного решения двухточечной краевой задачи для линейного уравнения второго порядка
- •Подставляя это выражение в уравнение (6.54), получим
- •7 Приближенное решение дифференциальных уравнений в частных производных
- •7.1 Метод сеток для решения смешанной задачи для уравнения параболического типа (уравнения теплопроводности)
- •Задано начальное условие
- •7.2 Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток
- •7.3 Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
- •Лабораторная работа № 1 Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •Порядок выполнения лабораторной работы:
- •Текст программы:
- •Варианты заданий
- •Лабораторная работа № 3
- •Решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений
- •Порядок выполнения лабораторной работы:
- •Метод Леверрье
- •Метод Фадеева
- •Текст программы:
- •Метод Крылова
- •Метод qr-разложения
- •Текст программы:
- •Метод обратных итераций
- •Текст программы:
- •Варианты заданий
- •Вычисления по программе привели к следующим результатам:
- •Квадратурная формула Гаусса
- •Дифференцирование с помощью сплайнов
- •Список использованной литературы
7.3 Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
Рассмотрим уравнение колебания однородной и ограниченной струны.
Задача состоит в отыскании функции u(x,t) приt>0, удовлетворяющей уравнению гиперболического типа
-
,
(7.12)
где: 0<x<a; 0<t<T,
начальным условиям
-
0 x a
(7.13)
и краевым условиям
-
(7.14)
Заменим Снасtи получим уравнение
и в дальнейшем будем считать С=1.
Для построения
разностной схемы решение задачи
(7.12)-(7.14) построим в области
сетку
;i=0,1,…,n;
;
;j=0,1,…,m;m=T.
Аппроксимируем (7.12) разностными производными второго порядка точности относительно шага
-
.
(7.15)
Полагая =/hперепишем (7.15), выразивUi,j+1.Таким образом получим трехслойную разностную схему
-
,
(7.16)
где: i=1,…,n;j=1,…,m.
Задаем нулевые граничные условия1(t)=0,
2(t)=0.
Тогда в (7.16),
для всехj.
Схема (7.16) называется трехслойной, т.к. она связывает значения искомой функции на трех временных слоях j-1,j,j+1.
Численное решение
задачи состоит в вычислении приближенных
значений
решенияu(x,t)
в узлах
приi=1,…,n;
j=1,…,m.Алгоритм решения основан на том, что
решение на каждом следующем слое
(j=2,3,..,n)
можно получить пересчетом решений с
двух предыдущих слоев (j=0,1,..,n-1)
по формуле (7.16). Приj=0
решение известно из начального условия
.
Для вычисления решения на первом слое
(j=1) положим
-
,
(7.17)
тогда
,i=1,2,…,n.
Теперь для вычисления решений на
следующих слоях можно использовать
формулу (7.16).
Описанная схема аппроксимирует задачу (7.12)-(7.14) с точностью O(+h). Невысокий порядок аппроксимации по объясняется грубостью аппроксимации по формуле (7.17).
Схема будет
устойчивой, если выполнено условие
.
Лабораторная работа № 1 Решение систем линейных алгебраических уравнений
Точные методы
Метод Гаусса
Входные параметры: n—целое положительное число, равное порядку n системы; а — массив изnхnдействительных чисел, содержащий матрицу коэффициентов системы (а(1) = а11, а(2) =a12…а(n) = аn1, а(n+ 1) = а12, .... а(n хn) = аnn);b— массив изnдействительных чисел, содержащий столбец свободных членов системы (b(1) =b1,b(2)=b2,…b(n)=bn).
Выходные параметры: b—массив изnдействительных чисел (он же входной); при выходе из программы содержит решение системыb(l) =x1,b(2) =x2, …b(n) = хn;error—признак правильности решения (код ошибки): еслиks= 0, то в массивеbсодержится решение системы, еслиerror= 1, исходная система не имеет единственного решения (определитель системы равен нулю).
Перед обращением к подпрограмме SIMQнеобходимо:
1) описать массивы а и b. Если система содержитnуравнений, то массив а должен содержатьn2 элементов, а массивb–nэлементов;
2) присвоить значение параметру n, который равен числу уравнений системы;
3) присвоить элементам массивов а и bзначения коэффициентов системы следующим образом:a(l) =a11, а(2) = а21, а(3) = а31,…а(n) = аn1а(n+1) = а12, а(n+2) = а22… а(nxn) = аnn.b(1) =b1,b(2)=b2,…b(n)=bn
4) проверить соответствие фактических параметров по типу и порядку следования формальным параметрам подпрограммы SIMQ. Параметры а иb- величины вещественного типа, n иerror- целого типа.
Задание. Используя программу SIMQ, решить заданную систему трех линейных уравнений. Схема алгоритма приведена на рисунке 13.