8.2 Непрерывные отображения компактных множеств и их свойства

Теорема 8.5. Пусть f – непрерывное отображение метрического пространства Х в метрическое пространство В ( f :Х В). Если множество ЕХ – компактно в метрическом пространстве Х , то его образ f(E) компактен в метрическом пространстве В.

Пример 8.5. Пусть задана отображение f: с R R; X = R, Y=R.

f(x) = x²; D( f ) =[1,2]R – компакт в метрическом пространстве Х; E( f ) = [1,4] R – компакт в пространстве В.

Теорема 8.6. Если отображение f :X Y непрерывно на компактном множестве ЕХ, то оно и равномерно непрерывно на этом компакте Е.

Замечание 8.2. Теорема 8.6 обобщает теорему Кантора для действительной функции одной действительной переменной.

Определение 8.3. Пусть задано множество ЕХ Отображение f : Х В называется ограниченным на Е, если образ множества Е: f(E) –ограниченное множество в В.

Теорема 8.7 (1 теорема Вейерштрасса ). Если отображение f компактного метрического пространства Х в метрическое пространство В непрерывно, то оно ограничено.

В силу теоремы 8.5 множество f(X) компактное в метрическом пространства В и поэтому по теореме 8.3 оно ограниченное. 

Напомним определение верхней (нижней) грани числовых множеств:

Верхней (нижней) гранью множества Е R называется такое число , для которого выполняются следующие условия:

1. хЕ  х (х);

2.   х Е, что х > x).

Лемма 8.1. Замкнутое ограниченное сверху (снизу) числовое множество E R содержит сваю верхнюю (нижнюю) грань.

Определение 8.5. Пусть f - отображение метрического пространства Х в метрическое пространство R. Говорят, что f принимает наибольшее (наименьшее) значение в точке х₀ , если для  х Х выполняется неравенство

f(x)  f(x_o) (f(x)  f(x_o)).

Теорема 8.8 (2 теорема Вейерштрасса для компактных множеств). Если отображение f компактного метрического пространства Х в метрическое пространство R непрерывно, то оно достигает своего наибольшего и наименьшего значений на компакте Х.

По теореме 8.5 образ кампактного множества Х при непрерывном отображении f - компактное множество f(X) в метрическом пространстве R. Поэтому по теоремам 8.2 и 8.3 оно будет ограниченным и замкнутым в R. По леммее 8.1 оно содержит сваю верхнюю грань :  точка х_оХ такая, что f(x_o)=. По свойству верхней грани f(x) xX  f(x) f(x_o) xX. По определению 8.5 отображение f имеет наибольшее значение . 

Аналогично доказывается, что отображение f имеет наименьшее значение.

Определение 8.6. Отображение f метрического пространства Х в метрическое пространство В называется взаимно однозначным, если:

1) каждому элементу х Х соответствует один элемнт вВ и

2) каждый элемент вВ соответствует одному элемнту х Х.

Теорема 8.9. Если f – взаимно однозначное и непрерывное отображение компактного метрического пространства Х на метрическое пространство В, то обратное отображение f ^-1 существует и также непрерывно. [1 ,ст.33].

§9. Принцип Банаха сжимающих отображений

Напомним определение §6 и теоремы, которые мы используем в этом параграфе.

Определение 9.1. Последовательность (x_n) метрическом пространства (Х, ) называется фундаментальной, если (0)( Nn,m > N)  [(x_m,x_n)].

Определение 9.2. Метрическое пространство называется полным метрическим пространством, если любая фундаментальная последовательность точек этого пространства сходится в нем.

Теорема 9.1. Пусть (Е, _х) – подпространство метрического пространства

(Х, _х). Если пространство (Х, _х) полное и множество Е замкнуто в нем, то подпространство (Е, _х) также является полным.

Определение 9.3. Пусть f - отображение метрического пространства (Х, _х) в себя (f: Х Х). Точка Х называется неподвижной точкой отображения f , если f( ) = .

Определение 9.4. Отображение метрическом пространства Х в себя называется сжимающим, если существует число  (0 <  < 1) такое, что х₁,х₂Х выполняется неравенство

 f(x₁),f(x₂) )  x₁, x₂. (9.1)