§6. Полные метрические пространства

Определение 6.1. Последовательность (x_n) метрического пространства (Х, ) называется фундаментальной, если (0)( N)(n,m > N )  [(x_m,x_n)].

Примером фундаментальной последовательности является любая сходящаяся последовательность точек метрического пространства.

В пространстве R любая фундаментальная последовательность сходящаяся. Но не всякая фундаментальная последовательность метрического пространства (Х, ) сходится в этом пространстве.

Например, в метрическом пространстве Х = (Q;  =х в) последовательность x_n = (1 + 1/n)ⁿ  e, если n  , но е  I и eX.

Определение 6.2. Метрическое пространство называется полным метрическим пространством, если любая фундаментальная последовательность точек этого пространства сходится в нем.

Пример 6.1. Метрическое пространство R – полное метрическое пространство, поскольку любая его фундаментальная последовательность сходится к числу, которое принадлежит пространству R. Это следует из критерия Коши: для того,чтобы числовая последовательность была сходящейся , необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Пример 6.2. Докажем, что пространство R^m - полное метрическое пространство.

Пусть последовательность (x_n= (x₁⁽ⁿ⁾, x₂⁽ⁿ⁾,…, x_m⁽ⁿ⁾)) (6.1) – произвольная функциональная последовательность пространства R^m. Покажем, что последовательность сходящаяся и ее предел принадлежит пространству R^m.

По определению фундаментальной последовательности и определению метрики в пространстве R^m

(0)( N())( p,n >N)  [(x_p,x_n)] 

Согласно доказательству теоремы 5.1  x_k^(p)  x_k⁽ⁿ⁾  . Таким образом, доказана фундаментальность числовых последовательностей (x₁⁽ⁿ⁾), (x₂⁽ⁿ⁾),…, (x_m⁽ⁿ⁾), а отсюда и их сходимость.

Пусть

Рассмотрим точку а = (а₁, а₂, …, а_m). Поскольку а₁, а₂, …, а_m R^m, то а R^m. По теореме о покоординатной сходимости последовательности в пространстве (Х, ) получили, что в метрическом пространстве R^m последовательность (x_n) сходится к аR^m Это значит, что пространство R^m полное метрическое пространство. 

Пример 6.3. Докажем, что метрическое пространство С[a,b] является полным.

Пусть (x_n) – произвольная фундаментальная последовательность в метрическом пространстве С[a,b]. Элементы ее непрерывные на [a,b] функции.

Докажем, что последовательность (x_n) сходится в метрическом пространстве С[a,b]. Спачатку докажем, что она сходится к предельной функции х(t) на отрезке [a,b].

По определению фундаментальной последовательности

(0)(N())(m,n > N)  [(x_m,x_n)] 

 x_m (t) x_n(t)<  n,m >N  t[a,b] (6.2)

Это значит, что t[a,b] фундаментальной является функциональная последовательность (x_n). Поэтому она имеет предел.

Если в неравенстве (6.2) перейти к пределу при m, то . Получим

 x (t) x_n(t)   n>N  t[a,b].

Таким образом, мы доказали, что

(0)(N())(n > N  t[a,b])[ x (t) x_n(t)  ].

А это значит, что последовательность (x_n) равномерно сходится к функции х(t) на [a,b]. Поскольку все элементы функциональной последовательности (x_n) непрерывные на [a,b] функции, то предельная функция х(t) также непрерывна на этом отрезке и поэтому является элементом метрического пространства С[a,b]. По теореме 5.2 в этом пространстве последовательность (x_n) сходится к х(t). Это свидетельствует о полноте метрического пространства С[a,b]. 