§2. Классификация точек и множеств в метрических пространствах

Пусть (Х, ) – метрическое пространство.

Определение 2.1. Открытым шаром с центром в точке х_о и радиусом  называется множества всех точек х, которые удовлетворяют условию (x,х_о)< . Это множества называется также -окрестностью точки х_о и обозначается U(x_o, ) или U_( x_o).

Пример 2.1. Открытый шар в различных пространствах:

 в пространстве R¹: (x_o ; x_o+ ) – интервал;

 в пространстве R²: открытый круг;

 в пространстве R³: открытый шар.

Определение 2.2. Замкнутым шаром с центром в точке х_о и радиусом  называется множества всех точек х, которые удовлетворяют условию (x,х_о) .

Мы будем говорить шар и будем иметь в виду определение 2.2.

Сфера – множества точек, которые удовлетворяют условию (x,х_о) = .

Пример 2.2. Шар в различных пространствах:

 в пространстве R¹: [x_o ; x_o+ ] – отрезок;

 в пространстве R²: замкнутый круг или просто круг;

 в пространстве R³: замкнутый шар или шар.

Определение 2.3. Множества ЕХ называется ограниченным в метрическом пространстве (Х, ), если существует шар конечного радиуса, который содержит это множества.

Замечание 2.1. Множества в различных метрических пространствах могут быть ограниченными и неограниченными.

Пример 2.3. Интервал (3;5)  R –ограниченное множество в пространстве R; интервал (3;5) пространстве Х = ((3;5), (x,y) = хy) не является ограниченным в пространстве Х.

Определение 2.4. Пусть ЕХ. Точка х₀ называется граничной точкой множества Е, если в любой окрестности этой точки содержатся точки, которые принадлежат множеству Е и не принадлежат ему.

Множества граничных точек – граница множества Е и обозначается Е.

Пример 2.4. Множества Е₁ = ( 0;1]  R  Е = { 0;1};

множества Е₂ = ( 0;1]  Х = (( 0;1], (x,y) = х в) не имеет границы.

Замечание 2.2. Граничные точки множества могут как принадлежать множеству, так и не принадлежать ему.

Определение 2.5. Точка х₀ называется внутренней точкой множества Е, если существует окрестность точки х₀, которая целиком содержится в множестве Е. Множество всех внутренних точек называется внутренностью множества Е и обозначается .

Пример 2.5. Е₁ = (2;3), Е₂ = (2;3], Е₃ = [2;3]  = = = (2;3)

Пример 2.6. в метрическом пространстве R; = Е в пространстве : Х = (( 2,3] {4,5}, (x,y)=хв) – подпространство м.пр. R.

Определение 2.6. Если каждая точка множества Е внутренняя, то оно называется открытым , а его внутренность совпадает с самим множеством: = Е.

В примере 2.5 множество Е₁ является открытым, а множества Е₂ и Е₃ не являются открытыми.

В примере 2.6 в первом случае множество Е не является открытым, во втором - является открытым.

Пример 2.7. Интервал (a,b) является открытым множеством в метрическом пространстве R.

Определение 2.7. Точка х_о называется предельной точкой множества Е, если в любой его окрестности содержится бесконечно много точек множества Е.

Другими словами точка х_о называется предельной точкой множества Е, если в любой его окрестности находится хотя бы одна точка множества Е, которая не совпадает с х_о.

Множество всех предельных точек множества Е называется производным множеством множества Е и обозначается Е.

Замечание 2.3. Предельные точки могут как принадлежать множеству Е, так и не принадлежать ему.

Определение 2.8. Если множество ЕХ содержит все свои предельные точки, то оно называется замкнутым.

Пример 2.8. В пространства R¹ : Е₁ = (a,b), = [a,b];

E₂ = [a,b], = Е₂;

Е₃ = ( 2,4){6}; = [2,4].

Пример 2.9. Пустое множество – замкнутое множество.

Определение 2.9. Точка х_о называется изолированной точкой множества Е, если существует  - окрестность этой точки, которая не содержит никаких других точек множества Е, кроме самой точки х_о .

Замечание 2.4. Каждая точка множества Е предельная или изолированная.

Пример 2.10. В метрическом пространстве R каждая точка множества {0,1,1/2,…}, кроме точки 0, является изолированной; точка 0 – предельная точка данного множества.

Определение 2.10. Точка х_о называется точкой прикосновения множества Е, если любая его  - окрестность содержит хотя бы одну точку множества Е.

Из определений 2.7, 2.9 и 2.10 следует, что каждая точка прикосновения множества Е может быть

- или предельной точкой множества Е, которая принадлежит множеству Е;

- или предельной точкой множества Е, которая не принадлежит множеству Е;

- или изолированной точкой множества Е.

Определение 2.11. Множество всех точек прикосновения множества Е называется замыканием множества Е и обозначается .

Замечание 2.5. = Е  Е.

Замечание 2.6. Множество замкнутое, если оно совпадает со своим замыканием.

Определение 2.12. Дополнением множества ЕХ до множества Х называется множество всех точек множества Х, которые не принадлежат множеству Е. Это множества обозначается С_хЕ или СЕ.