§10. Нормированные пространства

10.1.Линейныя пространства

Понятие линейного пространства занимает важное место в современной математике. Оно является естественным обобщением обычного трехмерного евклидового пространства. В линейном пространстве определены две алгебраические операции: сложение элементов пространства и умножение их на скаляры (числа), подчиненные определенным условиям.

Определение 10.1. Пусть К – поле действительных или комплексных чисел. Непустое множество А называется линейным (векторным) пространством над полем К, если для каждых двух его элементов х и y определена их сумма х+yА и для любого числа  определено произведение х А так , что эти операции удовлетворяют следующим аксиомам:

1) x + y = y + x,  x,y А (закон дистрибутивности);

2) (x + y) + z = x + (y + z), x,y,z  А (закон ассоциативности сложения);

3)   А такой, что x +  = x, x А;

4)  x А   x А такой, что x + ( x) = ;

5) 1 x = x x А, 1 К;

6) (x + y) = x + y, x,y А,  К;

7) (  ) х = х  х, x А и   К (6), 7) – законы дистрибутивности);

8) () x = (x), x А и  К (закон ассоциативности умножения).

Элементы этого пространства называют векторами. Элемент  – нулевой элемент, х – элемент, противоположный элементу х, элемент x  y = x + ( y) – разность элементов x и y.

Линейное пространство над R называется действительным линейным пространством, а линейное пространство над полем С комплексных чисел – кмплексным линейным пространством.

Не будем останавливаться на свойствах линейных пространств. Они подробно изучаются в курсе линейной алгебры. Рассмотрим только некоторые примеры линейных пространств, которые используются в курсе математического анализа.

Пример 10.1. Множество действительных чисел R с обычными операциями сложения и умножения – линейное пространство и обозначается R или R¹ .

Пример 10.2. Рассмотрим множество R^m различных упорядоченных совокупностей m действительных чисел. Определим на нем операции сложения и умножения:

где

x и y R^m, R.

Эти операции удовлетворяют аксиомам 1–8,причем нулевым элементом является  = (0, 0, ..., 0) и элемент,противоположный элементу х:  x = (x₁ , x₂,…,  x_m).

Таким образом, пространство R^m – линейная пространство (над полем R).

Пример 10.3. Множество C[a,b] функций, определенных и непрерывных на отрезке [a,b] со значениями в R – линейная пространство (над полем R) с обычными операциями сложения числовых функций: (x + y)(t) = x(t) + y(t)  C[a,b] и умножения их на действительные числа: (x)(t) = x(t)  C[a,b].

Пример 10.4.Множество l₂ числовых последовательностей (x_n), для которых сходятся ряды - линейное пространство (над полем R) с операциями сложения последовательностей: (x_n) + (y_n) = (x_n + y_n) и умножения их на действительные числа: (x_n) = =(x_n). Можно проверить, что эти операции удовлетворяют аксиомам 1–8.

10.2. Линейные нормированные пространства

Для линейного пространства можно ввести одно важное понятие, обобщающее понятие модуля.

Пусть А – линейное пространство над полем действительных чисел R (над полем С комплексных чисел).

Определение 10.2. Нормой на А называется действительная функция , определенная на множестве элементов пространства А и удовлетворяющая следующим аксиомам:

1)  0 х, при этом = 0 тогда и только тогда, когда х =  (аксиома невырождаемости нормы);

2) =   R (C), xA (аксиома однородности нормы);

3) (аксиома неравенства треугольника).