12.1. Ограниченность и норма оператора

Определение 12.2. Линейный оператор называется ограниченным , если существует такое число , что для

. (12.1)

Замечание. В последнем неравенстве норма вычисляется в пространстве , которое содержит область значений оператора, а вычисляется в пространстве .

Определение 12.2 эквивалентно следующему.

Определение 12.2. Линейный оператор называется ограниченным, если он каждое ограниченное множество из отображает в ограниченное множество из .

Для проверки ограниченности оператора достаточно найти образ единичного шара пространства , или образ единичной сферы этой пространства и убедиться, что эти образы являются ограниченными множествами в .

Определение 12.3. Наименьшая из констанат , удовлетворяющих неравенству (12.1), называется нормой линейного оператора и обозначается

Примем без доказательства теорему.

Теорема 12.1. или .

Пример 12.6. Рассмотрим в пространстве C[a,b] функционал F, который действует по правилу: F(f(t)) = f(0), 0t1. Найдем его норму:

12.2. Непрерывность линейного оператора

Определение 12.4. Оператор называют непрерывным в точке , если из условия следует .

Теорема 12.2. Если линейный оператор непрерывен в одной точке , тогда он непрерывен в любой точке из .

 Пусть x - произвольная точка из D(A) и . Тогда , и поскольку оператор А непрерывен в точке , то .

Но по свойству аддитивности оператора

.

Поэтому , откуда и следует, что . 

Теорема 12.3. Для того, чтобы линейный оператор был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.

необходимости.

Пусть непрерывный оператор неограничен. Таким образом, существует последовательность элементов (x_n) такая, что .

Пусть .Тогда Это значит, что .

С другой стороны, .

Поэтому при не стремится к нулю, а значит не стремится к нулю при : , что противоречит непрерывности оператора А. 

достаточности.

Пусть линейный оператор ограничен, т.е. .

Пусть , т.е. ; тогда и  , что определяет непрерывность . 

12.3. Пространство операторов

В множестве линейных операторов, определенных на линейном пространстве , с областью значений в линейном пространства , можно ввести алгебраические операции. Пусть и такия операторы.

Определим сумму операторов A и B следующим образом:

(A+B)x = Ax+Bx, xX, , Очевидно, что - линейный оператор: (А + В): из .

Аналогично вводится понятие произведения линейного оператора на число: ()х =  (х) х Х, R.

Очевидно, при таких определениях все необходимые аксиомы будут выполнены и множество линейных операторов будет являтся линейным пространством. В частности, нулем этого пространства будет нулевой оператор (пример 12.2).

Если Х и Y - нормированные пространства, тогда множество линейных непрерывных операторов может быть нормировано с помощью нормы .

Если рассматривать операторы, которые определены и действуют в одном и том же пространстве , то для них можно также ввести операцию произведения: по определению , если . Произведение, вообще говоря, некоммутативно: возможно, что .

35