Примеры предгильбертовых пространств

Пример 11.1. Линейное пространство R^m со скалярным произведением

 х,у  =

Пример 11.2. Линейное пространство l₂ со скалярным произведением

 х, у  = ,

где х = х₁, х₂, ... и у = у₁, у₂ ... любые элементы множества l₂.

Пример 11.3.Линейное пространство C[a,b] со скалярным произведением

 х,у  = х,у C [a,b].

Проверка аксиом скалярного произведения не представляет сложности. Проведите ее самостоятельно.

Лемма 11.1. В любом предгильбертовом пространстве А справедливо неравенство

, (11.1)

которое называется неравенством Коши-Буняковского.

Если у = , то справедливость неравенства очевидна. Пусть у  . Исходя из системы аксиом скалярного произведения имеем неравенство

 х  у, х  у  =  х , х   2  х, у  + ²  у, у   ,

которое справедливо для произвольного числа . Подставив в нее  =х,у у, у получим неравенство Коши-Буняковского. 

Лемма 11.2. В любом предгильбертовом пространстве формула

(11.2)

определяет норму.

Доказательство леммы сводится к проверке аксиом нормы. Это не вызывает трудностей и поэтому проведите проверку самостоятельно.

Итог. На основании леммы 11.2 неравенство Коши-Буняковского имеет вид

Таким образом, предгильбертово пространство является нормированным пространством и поэтому для него имеют место все определения и утверждения для нормированным пространств.

Определение 11.2.Полное предгильбертово пространство относительно нормы (11.2) называется гильбертовым пространством.

Примерами гильбертовых пространств являются пространства в примерах 11.1 и 11.2. Предгильбертово пространство в примере 3 не является полным относительно нормы (11.2) и поэтому не является гильбертовым.

§ 12. Линейные операторы

Пусть X и Y – нормированные линейные пространства над полем R (C).

Определение 12.1 Отображение А из линейного пространства X в линейное пространство Y называется линейным оператором (А: с ; y=Ax), если выполняются следующие условия:

1)  x и y  (аддитивность оператора);

2) xX и R (однородность оператора).

Совокупность всех тех xX, для которых отображение определено, называется областью определения оператора и обозначается через D(A). Множество тех yY, для которых y = Ax (x D(A)) называется областью значений (образом) оператора A и обозначается через R(A). Множество тех xX, для которых Ax=, называется ядром линейнага оператора и обозначается Ker A.

Замечание. Если Y  множество действительных чисел, тогда линейный оператор A называется линейным функционалом.

Пример 12.1. Пусть X  произвольное линейное пространство. Будем считать

Іx = x для всех .

Оператор, который переводит каждый элемент пространства в себя, называется единичным оператором.

Пример 12.2. Пусть X,Y  произвольные линейные пространства и пусть

х =  для всех xX.

 называется нулевым оператором,   нулевой элемент пространства Y.

Пример 12.3. Примером оператора в пространстве C[a,b] является оператор возведения в квадрат: .

Областью определения оператора является все пространство C[a,b], областью значений – совокупность всех неотрицательных функций из C[a,b].

Пример 12.4. В пространстве C[a,b] можно рассмотреть линейный оператор дифференцирования: , который определен на непрерывно - дифференцируемых функциях. Областью значений этого оператора будет все пространство C[a,b].

Пример 12. 5. Для произвольных формулой

задается линейный интегральный оператор.