§8. Непрерывные отображения компактных пространств

8.1. Понятие компактных пространств. Необходимые условия компактности множеств

Определение 8.1. Метрическое пространство X = (X, ) называется компактным или компактом, если из любой последовательности (x_n) элементов этого пространства можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к элементу пространства Х.

Определение 8.2. Множество Е  Х называется компактным в метрическом пространства Х, если из любой последовательности элементов множества Е можно выделить подпоследовательность, сходящуюся по метрике  к элементу множества Е, или другими словами: если подпространство (Е, ) - метрическое пространство (X, ) является компактом.

Пример 8.1. Пространство R не является компактом, поскольку существует последовательность (n), nN, из которой нельзя выделить подпоследовательность , которая сходится в R.

Пример 8.2. Всякое конечное множество Е точек метрического пространства (X, ) компактное в этом пространстве.

Пример 8.3. Е = {3,4,5}  R; x_n= , (x_n)E.

Подпоследовательность ( = (3, 3, …,3…)) (n = 2k) стремится к числу 3 если n . Точка 3 принадлежит множеству Е R . Множество Е компакт в R.

Теорема 8.1. Если множество Е замкнуто в компактном метрическом пространстве (X,), то оно компактно в этом пространстве [1 ,стр.29].

Изучим теперь некоторые свойства компактных множеств.

Теорема 8.2 (первое необходимое условие компактности). Если множество Е  Х компактно в метрическом пространстве (X, ), то оно замкнуто в этом пространстве.

Пусть а – какая-нибудь предельная точка множества Е в метрическом пространстве (X, ). Поэтому можно выделить последовательность (x_n)Е, которая сходится к а в этом пространстве (Т.5.4). Поскольку Е – компактное множество в метрическом пространстве (X, ), то существует подпоследовательность  (x_n), которая сходится к точке а^*Е по метрике  :  а^*Е. Известно, что подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же самому пределу. Таким образом а^*=а. Поскольку а^*Е, то и аЕ. 

Пример 8.4. Интервал Е=(а,в) не является компактным множеством в пространстве R .

Теорема 8.3 (второе необходимое условие компактности). Если множество Е  Х компактно в метрическом пространстве (X, ), то оно ограничено в этом пространстве [1 ,стр.30-31].

Замечание 8.1. Теоремы, обратные теоремам 2 и 3, вообще говоря не имеют место в любом метрическом пространстве.

Теорема 8.4 (критерий компактности в R^m). Для того, чтобы множество Е R^m было компактным в метрическом пространстве R^m , необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым и ограниченным в этом пространстве.

Доказательство необходимости следует из теорем 8.2 и 8.3.

достаточности.

Рассмотрим произвольную последовательность (x_n)Е. Поскольку множество Е ограничено в метрическом пространстве R^m по условию теоремы, то и последовательность (x_n) ограничена. Поэтому по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некотому числу а. Это число является предельной точкой для последовательности  Е, а поэтому и для множества Е. В силу замкнутости множества ЕХ, число аЕ, подпоследовательность сходится к числу аЕ, то множество Е компактно по определению (8.2).

Пример 8.5. Множество Е=[0,1]{5}R – компактное множество.

Пример 8.6. Замкнутый шар в пространстве R^m – компактное множество.

Пример 8.7. Множество {1/n, nN}R не будет компактным, поскольку оно не является замкнутым.