§3. Теоремы об открытых и замкнутых множествах

Теорема 3.1. Объединение любого числа открытых множеств – множество открытое.

Пусть G_k , где k  N - открытые множества.

Докажем, что - открытое множество.

Выберем любую точку х_о G. По определению объединения множеств точка х_о принадлежит одному из множеств G_k . Поскольку G_k – открытое множество, то существует  - окрестность точки х_о, которая целиком лежит в множестве G_k : U( x_o, )  G_k  U( x_o,)  G.

Получили, что любаю точка х_оG – внутренняя, а это значит, что G – открытое множество. 

Теорема 3.2. Пересечение конечного числа открытых непустых множеств– множества открытое.

Пусть G_k ( k = 1,2, …,n) – открытые множества.

Докажем, что - открытое множество.

Выберем любую точку х_о G. По определению пересечения множеств х_о принадлежит каждому из множеств G_k. Поскольку каждое множество G_k открытое, то в любом множестве G_k существует _k - окрестность точки х_о: U( x_o,  _k)  G_k. Множество чисел {₁, ₂,…, _n } конечное, поэтому существует число  = min {₁,₂,…,_n}. Тогда  - окрестность точки х_о находится в каждой _k - окрестности точки х_о:U( x_o, )  U_( x_o, _k)  U( x_o, )  G.

Получили, что х_о – внутренняя точка множества G, а это значит, что G – открытое множество. 

Замечание 3.1. Пересечение бесконечного множества открытых множеств может и не быть открытым множеством.

Пример 3.1. Пусть в пространстве R G_k = (2 – 1/k; 4+1/k), где k=1,2,…,n,…. G₁=(1;5), G₂(1,5;4,5), Отрезок [2;4]  G_k и не является открытым множеством, точки 2 и 4 не являются внутренними.

Теорема 3.3. Пересечение любой совокупности замкнутых непустых множеств – замкнутое множество.

Пусть F_k - замкнутые множества.

Докажем, что множество замкнутое, т.е. оно содержит все свои предельные точки.

Пусть х_о – предельная точка множества F. Из определения пересечения множеств следует, что в любой  - окрестности точки х_о находится бесконечно много точек каждого из множеств F_k, а это значит, что х_о – предельная точка каждого множества F_k . В силу замкнутости множеств F_k точка

х_о F_k k  х_о F. Поскольку точка х_о выбрана произвольно, то все предельные точки принадлежат множеству F, а это значит множесто F замкнутое. 

Теорема 3.4. Объединение конечного числа замкнутых множеств – множество замкнутое.

Пусть каждое множество F_k замкнутое.

Докажем, что множество замкнутое, т.е., если х_о – предельная точка множества F, то х_о F.

Пусть х_о – любая предельная точка множества F, тогда в любой  - окрестности точки х_о существует бесконечно много точек множества . Поскольку количество множеств F_k конечное, то х_о принадлежит хотя бы одному из множеств F_k, т.е. х_о – предельная точка для этого множества.

В силу замкнутости F_k точка х_о принадлежит F_k , а поэтому и множеству . Поскольку точка х_о выбрана произвольно, то все предельные точки принадлежат множеству F, а это значит множество F замкнутое. 

Замечание 3.2. Объединение бесконечного числа замкнутых множеств может быть множеством открытым.

Пример 3.2. В пространстве R: F_k =[2+1/k;5–1/k]

F₁ = [3;4]; F₂ = [2,5;4,5]; …. Интервал (2;5) – открытое множество.

Примем без доказательства теоремы 3.5 и 3.6, связанные с дополнением множества Е до множества Х: С_хЕ=СЕ.

Теорема 3.5. Если множество Е замкнутое, то его дополнение СЕ открытое множество.

Пример 3.3. Е= [2,5], C_R E = ( ,2)5.

Теорема 3.6. Если множество Е открытое, то его дополнение СЕ замкнутое множество.

Пример 3.4. Е= (2,5), C_R E = (,2][5.