§4. Последовательности точек метрического пространства

Определение 4.1. Последовательностью точек метрического пространства (Х, ) называется отображение f множества натуральных чисел в множество Х : f: N X.

Значение этого отображения в точке n  N называется n-м элементом последовательности точек метрического пространства и обозначается: x_n = f(n), последовательность (x_n) или последовательность (х₁,х₂,…, х_n…) или (х_n =(х₁,х₂,…, х_n,…)).

Пример 4.1. В пространстве R² : , где х₁= (1;2), х₂=(1/2;3/2).

Пример 4.2. В пространстве С[a,b]: , где х₁ = 1/x + x,

х₂ = 1/2x + 4x, … x2,3.

Определение 4.2. Пусть (x_n) – последовательность точек метрического пространства (Х, ), (k₁,k₂,…, k_n,…) – возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность называется подпоследовательностью последовательности (x_n).

Пример 4.3. Последовательность – подпоследовательность последовательности .

Определение 4.4. Пусть (x_n) – последовательность точек метрического пространства (Х, ). Точка а  Х называется пределом последовательности (x_n) если:

( )( ()(n)  [x_n,a]

Это оределение можно сформулировать иначе: точка а  Х называется пределом последовательности (x_n), если x_n,a) 0 , при n.

Обозначается

по метрике  или , если n.

Если последовательность (x_n) имеет предел, то она называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Если (x_n) – последовательность метрического пространства (Х, ) сходится к числу аХ, то а – предельная точка последовательности (x_n).

Обратное, вообще говоря, не имеет место.

Для сходящихся последовательностей имеют место следующие теоремы.

Теорема 4.1. Если (x_n) – сходящаяся последовательность метрического пространства (Х, ), то ее предел единственен.

Пусть

 x_n,a0 и  x_n,b 0.

По аксиомам метрики 0  a,b   x_n,a + x_n,b. Перейдем к пределу, если n, получим a,b = 0  a=b. 

Теорема 4.2. Если (x_n) – сходящаяся последовательность метрического пространства (Х, ), то она ограниченная.

Пусть .

По определению предела последовательности для любого , в частности для =1, существует такой номер N, что для всех n выполняется неравенство a,x_n<1.

Положим число r = max{1,  x₁, a),  x₂, a,…, x_N, a }. Очевидно, что

x_n, a) r nN. Можно сделать вывод, что все элементы данной последовательности находятся в шаре с центром в точке а и радиусом r. А это значит, что данная последовательность ограниченная. 

Теорема 4.3. Если последовательность (x_n) метрического пространства (Х, ) сходится к числу а Х, то любая ее подпоследовательность сходится к а.

Пусть – произвольная подпоследовательность последовательности (x_n). По условию .Это означает следующеее: ()( )(n )[ x_n,а].

Поскольку k_n  n, то для всех n>N будем иметь k_n >N и поэтому  .

Таким образом мы доказали, что ()()(n)  [ ]. Это значит, что . 

§5. Свойства сходящихся последовательностей в некоторых метрических пространствах

Теорема 5.1 (о покоординатной сходимости последовательности в метрическом пространства R^m). Для того, чтобы последовательность точек метрического пространства R^m (х_n =(х₁⁽ⁿ⁾,х₂⁽ⁿ⁾,…, х_m⁽ⁿ⁾,…)) сходилась к точке а =(а₁,а₂,…, а_m) этого пространства, необходимо и достаточно, чтобы числовые последовательности (х₁⁽ⁿ⁾), (х₂⁽ⁿ⁾),…,(х_m⁽ⁿ⁾) сходились соответственно к числам а₁,а₂,…, а_m :

, ,..., (5.1)

Если выполняются условия (1), то говорят, что последовательность (х_n) сходится к точке а покоординатно.

необходимости.

Пусть (5.2) в метрическом пространстве R^m.

Докажем, что выполняются равенства (5.1).

В силу равенства (5.2) по определению предела последовательности в метрическом пространстве R^m будем иметь:

()()(n )  [ x_n,а],

где  - метрика метрического пространства R^m :

x,y R^m .

Неравенство  x_n,а примет вид:

  x₁⁽ⁿ⁾a₁ ,  x₂⁽ⁿ⁾ a₂ ,… , x_m⁽ⁿ⁾a_m .

Таким образом, если k = 1, 2,…,m доказано, что

()()(n) [ x_k⁽ⁿ⁾ a_k ]  

равенство (5.1). 

достаточности.

Пусть имеют место равенства (5.1).

Докажем, что (5.2) в метрическом пространстве R^m.

Пусть  - произвольное положительное число, в частности пусть его роль играет число .

Поэтому ()( n_k)(nn_k)  x_k⁽ⁿ⁾a_k  , k = 1,2,…,m.

Выберем число N = max{ n₁, n₂,…, n_m }. Тогда n>N 

Мы доказали, что ()()(n) [ x_n,а]  .

Пример 5.1. Найти предел a = (a₁,a₂)

последовательности в пространстве R².

Таким образом, =(1/4;3).

Теорема 5.2 (Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности пространства R^m можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Частный случай этой теоремы для пространства R¹ был доказан на первом курсе.

Теорема 5.3. Для того, чтобы последовательность (x_n) точек метрического пространства С[a,b] с чебышовской метрикой сходилась к элементу х этого пространства , необходимо и достаточно, чтобы функциональная последовательность (x_n(t)) равномерно сходилась к х(t) на [a,b].

Докажем достаточность.

Напомним , что метрика в пространстве С[a,b] имеет вид

Известно, что функциональная последовательность (x_n) равномерно сходится к предельной функции х тогда и только тогда, когда

С учетом определения метрики в пространстве С[a,b] мы имеем равенство

по метрике  в метрическом пространстве С[a,b]. 

Пример 5.2. x_n(t) = tⁿ t ; nN. Известно, что на отрезке ; функциональная последовательность x_n(t) = tⁿ равномерно сходится к предельной функции x (t) = 0. Таким образом t ; последовательность (x_n) сходится к х = 0 в метрическом пространстве С[0;1/2].

Теорема 5.4. Если а – предельная точка множества Е метрического пространства (X, ), то существует последовательность (x_n), элементы которой принадлежат Е и не равны а, которая сходится к а в этом метрическом пространстве.

Доказательство аналагично доказательству для пространства R.