
- •Предисловие
- •§1. Определение и примеры метрических пространств
- •Примеры метрических пространств
- •§2. Классификация точек и множеств в метрических пространствах
- •§3. Теоремы об открытых и замкнутых множествах
- •§4. Последовательности точек метрического пространства
- •§5. Свойства сходящихся последовательностей в некоторых метрических пространствах
- •§6. Полные метрические пространства
- •§7. Предел и непрерывность отображений метрических пространств
- •§8. Непрерывные отображения компактных пространств
- •8.1. Понятие компактных пространств. Необходимые условия компактности множеств
- •8.2 Непрерывные отображения компактных множеств и их свойства
- •§9. Принцип Банаха сжимающих отображений
- •Основные свойства сжимающих отображений
- •§10. Нормированные пространства
- •10.1.Линейныя пространства
- •10.2. Линейные нормированные пространства
- •Симвалом определено значение функции в точке х, которое называется нормой элемента х.
- •Таким образом, задание нормы на линейном пространстве преобразует его в нормированное пространство.
- •Примеры нормированных пространств
- •§ 11. Предгильбертовые пространства
- •Примеры предгильбертовых пространств
- •§ 12. Линейные операторы
- •12.1. Ограниченность и норма оператора
- •12.2. Непрерывность линейного оператора
- •12.3. Пространство операторов
12.1. Ограниченность и норма оператора
Определение 12.2.
Линейный оператор
называется ограниченным
, если существует такое
число
,
что для
.
(12.1)
Замечание.
В последнем неравенстве
норма
вычисляется в пространстве
,
которое содержит область значений
оператора, а
вычисляется в пространстве
.
Определение 12.2 эквивалентно следующему.
Определение 12.2. Линейный оператор называется ограниченным, если он каждое ограниченное множество из отображает в ограниченное множество из .
Для
проверки ограниченности оператора
достаточно найти образ единичного шара
пространства
,
или образ единичной сферы
этой пространства и убедиться, что эти
образы являются ограниченными множествами
в
.
Определение
12.3.
Наименьшая из констанат
,
удовлетворяющих неравенству (12.1),
называется нормой
линейного оператора
и обозначается
Примем без доказательства теорему.
Теорема
12.1.
или
.
Пример 12.6. Рассмотрим в пространстве C[a,b] функционал F, который действует по правилу: F(f(t)) = f(0), 0t1. Найдем его норму:
12.2. Непрерывность линейного оператора
Определение
12.4.
Оператор
называют непрерывным
в точке
,
если из условия
следует
.
Теорема
12.2.
Если линейный оператор
непрерывен в одной точке
,
тогда он непрерывен в любой точке из
.
Пусть x -
произвольная точка из D(A)
и
.
Тогда
,
и поскольку оператор
А
непрерывен в точке
,
то
.
Но по свойству аддитивности оператора
.
Поэтому
,
откуда и следует, что
.
Теорема 12.3. Для того, чтобы линейный оператор был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.
необходимости.
Пусть
непрерывный оператор неограничен. Таким
образом, существует последовательность
элементов (xn)
такая, что
.
Пусть
.Тогда
Это значит, что
.
С
другой стороны,
.
Поэтому
при
не стремится к нулю, а значит
не
стремится к нулю при
:
,
что противоречит непрерывности оператора
А.
достаточности.
Пусть линейный оператор ограничен, т.е. .
Пусть
,
т.е.
;
тогда и
,
что определяет непрерывность
.
12.3. Пространство операторов
В
множестве линейных операторов,
определенных на линейном пространстве
,
с областью значений в линейном пространства
,
можно ввести алгебраические операции.
Пусть
и
такия операторы.
Определим сумму операторов A и B следующим образом:
(A+B)x
= Ax+Bx,
xX,
, Очевидно, что
-
линейный оператор:
(А + В):
из
.
Аналогично вводится понятие произведения линейного оператора на число: ()х = (х) х Х, R.
Очевидно, при таких определениях все необходимые аксиомы будут выполнены и множество линейных операторов будет являтся линейным пространством. В частности, нулем этого пространства будет нулевой оператор (пример 12.2).
Если
Х и Y
- нормированные
пространства, тогда множество линейных
непрерывных операторов может быть
нормировано с помощью нормы
.
Если
рассматривать операторы, которые
определены и действуют в одном и том же
пространстве
,
то для них можно также ввести операцию
произведения:
по определению
,
если
.
Произведение, вообще говоря, некоммутативно:
возможно, что
.