18. Классы т0, т1.

Т0 — класс функций, сохраняющих 0 ff(0,0,...,0,0)=0

ЄТ0	&,∪,⨁,0,x
∉T0	→,│,↓,1,¬x,≡

Число наборов определяющих значение функции из класса Т0 равно 2^n-1. Поэтому всего булевых ф-ций из класса Т0 от n-переменных=2^2^n-1

Докажем, что Т0 — замкнутый класс. Для этого достаточно показать, что элементарная суперпозиция функции, принадлежащей Т0, входит в класс Т0.

f0,f1,...fkT0

ФТ0?

Ф=(y1,...,yn)=f0(f1(x11,...,x1i),...,fk(xk1,...,xkik))

Ф(0,..,0)=f0(f1(0,0,…,0),…,fk(0,0,…,0))=f0(0,0,…,0)=0

Т1 — класс функций сохраняющий 1

ff(1,1,...,1,1)=1

ЄТ1	&,∪,1 ,→,x,≡
∉T1	↓,│,¬x,0,⨁

Число булевых функций 2^n-1. Аналогично смотреть Т0 по поводу всего остального

19. Класс s.

Класс самодвойственных функций

fSf=f*

ЄS	x,¬x
∉S	→,│,↓,1,0,≡,⨁,&,∪

Самодвойственность функции проверяется по таблице истинности. Два набора называются противоположными, если все значения координат этих наборов противоположны.

α=(α1,α2,…,αn) ¬α=(¬α1,¬α2,…,¬αn)

На противоположных наборах самодвойственная функция принимает противоположные значения. То есть, в общем случае:f(x1,x2,...,xn)=f(x1,x2,...xn), поэтому для задания самодвойственной функции от n переменных достаточно (2^n)/2 или(2^n-1) наборов. Тогда числа самодвойственных ф-ций =2^2^(n-1).

Покажем, что класс S замкнут. Достаточно доказать, что элементарная суперпозиция самодвойственных функций является самодвойственной функцией. То есть, класс самодвойственных ф-ций замкнут.

f0,f1,…fkЄS

ФЄS-?

Ф*(y1,…,yn)=f0*(f1*(x11,…,x1i,…),…,fk*(xk1,…,xkik))=f0*(f1(x1,…,x1i1),fk(xk1,…,xkik))=f0(f1(x11,…,x1i,..),…,fk(xk1,…,xkik))=Ø

Лемма о несамодвойственнs[ функции. Если функция (f∉S) несамодвойственна, то из нее путем подстановки вместо переменных тождественных функций и отрицания, можно получить константу.

Доказательство. Пусть f≠f*. Тогда найдутся два противоположных набора: (α1,α2,…,αn) и (¬α1,¬α2,…,¬αn), на которых ф-ция принимает одинаковые значения: f(α1,α2,…,αn)=¬f(¬α1,¬α2,…,¬αn).

По набору (α1,α2,…,αn) и ф-ции а построим ф-цию φ по одной переменной: φ(х)=f(x^α1, x^α2,…,x^αn)

Она получена в результате подстановки вместо переменных ф-ции x^αi. В зависимости от значения αi подставляется тождественная ф-ция или отрицание.

П окажем, что φ-константа.φ(0)=f(0^α1,0^α2,…,0^αn)=f(¬α1,¬α2,…,¬αn)=0^α=

1,α=0 = f(α1,α2,..,αn)=f(1^α1,1^α2,…,1^αn)=φ (1)

0,α=1 =¬α;

1 ^α= 1, α=1

0, α=0 =α

Что и требовалось доказать.

20. Класс м.

М – класс монотонных ф-ций.

На множестве наборов одинаковой длины введём бинарное отношение ∆(треугольник с нижней чертой!)

Пусть =(1,…,n) и =(1,…, n).

α∆βα1≤β1,…,αn≤βn

(0,0,1)∆(0,1,1)

Данное отношение является отношением порядка, но оно не является отношением линейного порядка, потому что не все наборы сравнимы.

Свойства

1.α∆α

2.α∆β, β∆α=>α=β

3.α∆β, β∆ј=>α∆ј

Данное бинарное отношение ∆ называют отношением предшествия. В табл истинности «меньшее» наборы находятся выше.

Ф-ция назыв. монотонной, если всегда из того, что α предшествует β: α∆β=>f(α)≤f(β)

ЄM	&,0,1,∪,x
∉M	¬x,→,≡,⊕,↓,│

Покажем, что класс М является замкнутым [M]. Для этого достаточно показать, что элементарная суперпозиция этой ф-ции является монотонной ф-цией.

Пусть α∆β, и α и β-наборы длины n. Каждому набору α соответствует поднабор значений аргументов ф-ций f1,f2,…,fk. То есть, каждому α соответствует α^(1),α^(2),…,α^(k) аналогично соответствует β^(1),β^(2),…,β^(k). Отсжда следует, что α^(1)∆β^(1), α^(2)∆β^(2),…,α^(k)∆β^(k)

Так как f1,f2,…,fk монотонны, то f1^(α^(1))≤f1(β^(1))

f2(α^(2))≤f(β^(2)) ……………… fk(α^(k))≤fk(β^(k)), а так f0 тоже монотонно, то получаем, что f0(α)≤f0(β).

То есть Ф(α)=f0(α)=f(f1(α^(1),…,fk(α^(k)))≤f0(f1(β^(1)),…,fk(β^(k)))=f0(β)=Ф(β). И это значит, что класс ф-ций замкнут.

Лемма о немонотонной ф-ции: Если ф-ция f немонотонна, то из нее путем подстановки вместо переменных констант и тождественной ф-ции можно получить отрицание.

Д-ство.Пусть fM т.е. ∆: f()<f(), поэтому f()=1, f()=0. Покажем, что найдутся два соседних набора. Предположим, что наборы α и β отличаются по t-координатам(t>1). Без ограничения общенности можно предположить, что это первые t координат.

=(0, 0, …, 0, t+1,…,n)

=(1, 1, …, 1, t+1,…, n)

По  и  построим последовательность наборов ^ (0)=α, ^ (1) – соседний с (0) по 1-й переменной,…, ^ (t) – совпадает с набором β:(t)=. Очевидно, что при таком построении все наборы будут находиться в отношении предшествия.

^(0)∆ ^ (1)∆…∆ ^ (t) f(α)=f(α^(0))>f(α^(t))=f(β)

Следовательно найдётся пара наборов α^(i) и α^(i+1), на которых нарушается монотонность.

f(α^(i))>f(α^(i+1)). Эти наборы соседние по (i+1) координате.

α^(1)=(1,1,…,1,0,0,…,αt+1,…,αn)

α^(i+1)=(1,1,…,1,0,0,…,0,αt+1,…,αn)

По набору α^(i) и ф-ции f построим ф-цию φ по одной переменной.

φ(х)=f(1,1,…,1,x,0,0,…,αt+1,…,αn)

Ф-ция φ получена в результате подстановки вф-цию f констант и тождественных ф-ций.

φ(0)=f(α^(i))>f(α^(i+1))=φ(1)

φ(0)=1, φ(1)=0 f(x)=¬x