8. Отношение порядка. Изоморфизм упорядоченных множеств.

Бинарное отношение на множестве А называется отношением порядка, если оно одновременно рефлективно, антисимметрично и транзитивно.

Пусть р-произвольное отображение декартового произведения

(a1,a2,...,an)(A1,A2,...An) (возможноА1=А2=...An) на множестве, состоящее из 2 элементов {1,0}. Такое отображение называется предикатом.

Совокупность тех наборов (a1,a2,...,an) которые р отображает в истину задает n-арное отношение R. RA1*A2*...*An которые однозначно определяет р.

Два упорядоченных множества называются изоморфными (одинаковыми с точки зрения структуры) если существует также биективное отображение :A1→А2 такое что если a1b=>(a)2(b)

Для изображения конечных упорядоченных множеств используется диаграмма Хассе. Идея диаграмм Хассе состоит в том, что мы не рисуем того, что мы можем установить по рефлексивности и транзитивности. Два элемента называются сравнимыми, если ab или ba. Упорядоченное множество, любые два элементы которого сравнимы, называется линейно-упорядоченным.

2^А нельзя линейно упорядочить отношением включения.

Линейно упорядоченое множество называют цепью.

9. Алгебраические системы. Изоморфизм алгебраических систем.

По определению любое отношение R выделяет некоторое подмножество соответствующего декартового произведения А1…Аn, поэтому можно считать, что отношение R является истинным на наборе (а1, …, аn) если (а1, …, аn) ЄR, в противном случае отношение R на наборе (а1, …, аn) является ложным. Эта интерпретация позволяет перейти от определения отображений как вида отношений к заданию отношений через отображения.

Пусть р:А1А2…Аn{и,л}-такое отображение называют предикатом, где n-арность предиката.(А1=А2=…=Аn)

Совокупность всех наборов (а1, а2, …,аn), которые р отображает в истинну, задают n-арное отношение R, которое однозначно определяет отображение р. RA1…An

Это соответствие устанавливается следующим образом: (а1,…,аn) ЄR p(a1, a2,…,an)=истинна.

Множество с заданным на этом множестве набором операций и предикатов, называется алгебраической системой (А)

A=(A,f1^(l1), …,fk^(lk),p1^(t1),…,pd^(td))

f1^(l1):A^(l1)A p1^(t1):A^(t1){и,л}

Множество А называется носителем или основанием системы А, а его элементы-элементами системы А.

Мощность множ А называется мощностью или порядком системы А.

Система А называется конечной, если множ А конечно.

Если множ предикатов пусто, то такая алгебраическая система называется алгеброй.

Если множ операций пусто, то такая алгебраическая операция называется моделью.

Вектор =(l1,…,lk, t1,…,td), который состоит из арности предикатов, определяет тип алгебраической системы.

Пусть имеется 2 упорядоченных множ: (А1,1) и (А2, 2)

Два упорядоченных множества назыв изоморфными или одинаковыми, если сущ биективное или взаимнооднозначное отношение  из множ А1 и множ А2(:А1А2) такое, что если 2 элемента а и b в отношении 1: а1b(a)2(b). В таком случае А1 и А2 изоморфны.(А1,1)(А2,2)