15. Разложение булевых функций по переменным. Скнф.

Пусть f(x1,…,xn)-произвольная булева ф-ция. Представим f* в виде совершенной ДНФ:f*(x1,…,xn)=∪x1^σ1·x2^σ2·…·xn^σn

(σ1,…,σn):f*(σ1,…,σn)=1

Воспользуемся тождеством f**=f. Найдём двойственные ф-ции в обеих частях.

f(x1,…,xn)=&(x1^σ1∪x2^σ2∪…∪xn^σn)

(σ1,…,σn)·f*(σ1,…,σn)=1

Воспользуемся определением двойственности: f*(σ1,…,σn)=¬¬f(¬σ1,…,¬σn)=&(x1^σ1∪x2^σ2∪…∪xn^σn)=

(σ1,…,σn):f(¬σ1,…,¬σn)=0

=&(x1^¬α1∪x2^¬σ2∪…∪xn^¬αn) (4)

(α1,…,αn):f(α1,…,αn)=0

Представление (4) называется совершенной конъюнктивной нормальной формой.

Теорема. Любую булеву ф-цию, не тождественную 1(f≠1) можно представить в виде СКНФ.

Построение СКНФ по таблице истинности:

1.Выбираем те значения ф-ции, которые ≠1.

2.По каждому такому набору строим элементарную конъюнкцию.

3.Полученные элементарные конъюнкции складываем

16. Полнота и замкнутость.

Система булевых ф-ций DP2 наз. полной (ф-ционально полной), если любую бул. ф-цию можно представить в виде ф-лы над мн-вом ф-ций D. Например: Р2 {,&,}.

Теорема:

Пусть D={d1,…,dl,…} – полная система ф-ций и такая, что каждая её ф-ция представима в виде ф-лы надмножеством ф-ции системы G(G={g1,…,gk,…}), то система ф-ций G полная cистема ф-ции. D={d1,d2,…,dn…}, T={t1,t2,…,tn…}.

Док-во. Воспользуемся тем, что D-полная система ф-ции. Тогда произвольную булеву ф-цию f можно реализовать над множеством ф-ции сиситемы Д: di=Ci[g1,..,gk,…]

F=C[C1[g1,…,gk],…,C1[g1,…,gk,…]…]. Что и требовалось доказать.

На основе этой теоремы покажем, что система G, состоящая из двух ф-ций (G={-,&}) является полной.

В качестве системы Д выберем систему(Д={-,&,∪})

¬(x∪y)=¬x&¬y; x∪y=¬(¬x&¬y)

Представили дизъюнкцию в виде ф-лы G, и тем самым показали, что G-полная система ф-ции.

Покажем, что G={1} является полной системой ф-ции. В качестве Д={-,&} ¬x=x\x; x&y=¬(x\y)=(x\y)/(x\y)

17. Представление булевых функций в виде полинома Жегалкина. Теорема Жегалкина.

Система ф-ции {0,1,&,}-полная система ф-ции. Для того, чтобы это показать, мы рассмотрим:

Определение.Многочлен от переменных х1,...xn(n≥1) над множеством функций {0,1,&,}, являющийся многочленом первой степени относительно каждой переменной называют полиномом Жегалкина.

Люой полином Жегалкина от n-переменных однозначно задаёт некоторую булеву ф-цию f(x1,…,xn). Все булевы ф-ции полностью определяются полиномом Жегалкина.

n=1 a0 a1x1

na0a1x1 a2x2 a12x1x2

a0 ai i2,…,ik xi1xi2…xik…- общий вид в n-ой степени

{i1,i2,…,ik}⊆N={0,1,…,n}

{i1,...ik}{1,...n}

Теорема(первая теорема Жегалкина). Любую булеву функцию можно представить в виде полинома Жегалкина.

Следствие с теоремы: Система {0,1,&,}-полная система ф-ции.

1.Представим булеву функцию в виде СДНФ. Возможны 2 случая:

а.Если f≡0, то соответствующий полином Жегалкина принимает вид a0=0;

б.f≢0, f≡1, полином Жегалкина: а0=1

2.Используя закон де Моргана, выразим V в виде формулы, тождественной над множеством функции {}

3.x=x1 – избавились от отрицания путём использования тождества

4.Получили формулу над множеством функций {0,1,&,. И путём преобразования, преобразуем полученное выражение к виду полинома Жегалкина.

Даный способ построения полинома Жегалкина называется алгебраическим.

Теорема(Вторая теорема Жегалкина). Представление ф-ции в виде полинома Жегалкина единственно.

Любой полином Жегалкина от n переменных однозначно определяется набором своих коэфициэнтов (длина набор- 2^n). Всего полиномов Жегалкина 2^(2^n) и совпадает с общим числом булевых ф-ций от n-переменных, следовательно, существует взаимнооднозначное соответствие между полиномами Жегалкина и булевыми функциями.