12. Эквивалентность формул. Свойства элементарных булевых функций.

Формулы U,W называются эквивалентными ( U=V), если они реализуют равные функции.

Принцип эквивалентности. Если в формуле некоторую подформулу земенить на эквивалентную ей формулу, то результатом будет формула, эквивалентная исходной. Принцип эквивалентности позволяет тождественно преобразовать ф-лу.

Свойства:

1) x1&x2=x2&x1

2) x1&(x2&x3)=(x1&x2)&x3

3) ,4) V,|+|^2

5)x1x2=x2 x1

x1(x2x3)=(x1x3)x2

6)Закон двойного отрицания

¬¬(х)=х

7.Закон де Моргана: ¬хÙ¬у=¬(ху); ¬х&¬у=¬(хÙу);

8) хÙх=х; 9)х&х=х; 10) x Ù¬ x =1; 11) х&¬х=0; 12) хÙх&у=х – Закон поглащения

13. Двойственные функции. Принцип двойственности

Функция f*(x1,x2,…,xn)=¬f(¬x1,¬x2,…,¬xn-)двойственная функция для функции f(x1,x2,…,xn).

(x&y)*=¬(¬x&¬y)=xÙy

Функциb, совпадающие со своими двойственными функциями, называются самодвойственными.

х*=¬¬(х)=х 0*=1

(¬х)*=(¬¬¬х)=(¬х) 1*=0

На противоположных наборах любая самодвойственная функция принимает разные значения.

По таблице истинности f* строится следующим образом: значения функции изменяются на противоположное (0 на 1;1 на 0), столбец значений переворачивается симметрично относительно середины таблицы.

f**=(f*)*=f

Теорема двойственности.Пусть даны ф-ции f0(y1,y2,…,yk), f1(x1,x2,…x1i1),…,fk(xk1,xk2,…,xkik).

Пусть Ф(х1,х2,…,хn)-элементарная суперпозиция ф-ции f0,f1,…,fk

Ф(х1,х2,…,хn)=f0(f1(х1,х2,…,х1i1),…,fk(хk1,…,хkik)), тогда Ф*(х1,х2,…,хn)=f0*(f1*(х1,х2,…,х1i1),…,fk*(хk1,…,хkik))

Доказательство.По определению двойственной ф-ции Ф*(х1,х2,…,хn)= =¬f0(¬f1(¬х1,¬х2,…,¬х1i1),…,¬fk(¬хk1,…,¬хkik))= Ф*(х1,х2,…,хn)= ¬f0(¬¬f1(¬х1,¬х2,…,¬х1i1),…,¬¬fk(¬хk1,…,¬хkik))= ¬f0(¬f1*(х1,х2,…,х1i1),…,¬fk*(хk1,…,хkik))= f0*(z1,…,zk)= f0*(f1*(х1,х2,…,х1i1),…,fk*(хk1,…,хkik))

Из этой теоремы следует принцип двойственности, использую который можно получать новые тождества.

Принцип двойственности. Если U=C(1, 2,…, k) реализует ф-ю f, то ф-я f* реализуется ф-лой U*=C(1*, 2*,…, k*) (U*- ф-ла двойстквенная к U).

U* - двойственная U

Следствие: если функция φ реализуется формулой над множеством функций L, то двойственная к ней функция φ* реализуется формулой над этим же множеством функций.

=(x1&¬x2)Ù(x1Ù(x2&1))

*=(x1Ù¬x2)&(x1&(x2Ù0))

¬(x1&x2)=¬x1Ù¬x2

¬x1Ù¬x2=¬x1&¬x2

14. Разложение булевых функций по переменным. Сднф.

В ведём обозначение: x^σ= x,σ=1,

¬x, σ=0 x^σ=1x=σ

Функция вида x1^σ·x2^σ2·…·xσ^σk= xi^σ называется элементарной конъюнкцией, где - const

Функция вида называется элементарной дизъюнкцией, где - const

Теорема (о разложении булевых функций по переменным).Любую булеву функцию от n-переменных f(x1,x2,…,xn) можно представить в виде f(x1,x2,…,xn)=∪x1^σ1·x2^σ2·…·xk^σk·f(σ1,σ2,…,σk,x(k+1),…,xn)(1)

(σ1,σ2,…,σk)

Соотношение (1) назывется разложением булевой функции по первым k переменным. Для доказательства достаточно показать, что при подстановки любого набора в соотношение (1) дает тождество.

Возьмём произвольный набор n и подставим в соотношение (1).

F(α1,α2,…,αn)=∪α1^σ1,α2^σ2,…,αk^σkf(σ1,σ2,…,σk,αk+1,…,αn)

(σ1,…,σk)

В этой сумме отличными от нуля будут только те слогаемые, для которых i=i(i=1,…,k). Такое слогаемое единственное и оно имеет вид α1^α1·α2^α2·…·αk^αk·f(α1,…,αk,α(k+1),…,αn)=f(α1,…,αn). Это верно для любого n.

Следствия

1)Разложение булевой функции по одной переменной имеет вид: f(x1,…,xn)=∪x1^σ1·f(σ1,x2,…,xn)=

σ1

x1^1·f(1,x2,…,xn)∪ x1^0·f(0,x2,…,xn)= x1·f(1,x2,…,xn)∪¬х1·f(0,x2,…,xn).

2)Разложение булевой функции по всем n переменным имеет вид: f(x1,x2,…,xn)(2)=∪x1^σ1,…,xn^σnf(σ1,σ2,…,σn)=∪x1^σ1·x2^σ2·…·xn^σn(3)

(σ1,…,σn) (σ1,…,σn)f(σ1,…,σn)=1

Разложение (3) — совершенная дизъюнктивно нормальная форма.

Теорема. Любую булевую ф-цию, не тождественную 0(f≠0) можно представить в виде СКНФ.

Обоснование. Если ф-ция тождественная 0, f=0, то её можно представить f=x·(¬x). Если ф-ция не тожд. 0, то её можно представить в виде совершенной дизъюнктивно-нормальной формы (СДНФ).

Теорема является конструктивной, то есть позволяет для любой ф-ции построить ф-лу, реализующую её над этим снож ({&,∪,-}).

Построение СДНФ по таблице истинности:

1.Выделяем те наборы, на которых ф-ция принимает значение1.

2.По каждому такому набору строим элементарную конъюнкцию.

3.Полученные элементарные конъюнкции складываем.