7. Отображение. Виды отображений

Отображение-это бинарное отношение на паре множеств А, В, такое, что каждый элемент из множества А находится в этом отношении с единственным элементом множества В.

Отображение — закон, который устанавливает связь всех элементов из А с элементами В, такой, что каждый элемент из А находится в этой связи с единственным элементом В. Прообразом(-ами) элемента множества В называется(-ются) тот(те) элемент(ы) множества А, из которого (которых) выходит дуга в этот элемент множества В.

Совокупность всех прообразов называется полным прообразом.

Если :A→B и множества А, В имеют числовую природу, то отображение называют функцией.

Отображение вида :С^n→C называют операцией, где С — произвольное множество.

Пусть А — упорядоченное множество a_*А называется наименьшим (наибольшим) элементом множества А, если для любого aa_*≤а(a_*≥а)

Элемент a_* из множества А называется максимальным (минимальным), если в множестве А не существует элементов aa_*>а(a_*<а)

Если упорядоченное множество имеет наименьший(наибольший) элемент, то только один. Если элемент наибольший, то он максимальный, обратно неверно. Если элемент наименьший, то он минимальный, обратное неверно.

:С^n→C — операция

Если то в качествве С можно выбрать например I(универсальное множество) или элементы булеана.

Отображение :А^n→{1,0} называется предикатом.

Во всех примерах n это арность отображения. А — количество элементов если  функция.

Отображение можно задавать графически, аналитически, таблицами и т.д

Над отображениями, как над бинарными отношениями, можно производить операции ^(-1), *. Результатом будет отношение, которое вообще говоря, не является отображением.

Теорема. Объединение(пересечение) двух отображений множества А в множество В, тогда и только тогда является отображением, когда оба заданых отображения совпадают друг с другом.

Виды отображений

Среди отображений выделяют три основных вида:

1)сюръективное

2)биективное

3)инъективное

Даными видами множество отображений не ограничивается.

1)Отображение :A→B называется сюръективным(рис.1), если аждый элемент из множествa В имеет прообраз.

В графическом изображении сюръективного отображения каждый элемент множества В имеет по крайней мере 1 входящую дугу.

(x)=b xA,bB (1)

Если сюръективное отображение, то уравнение (1) имеет по крайней мере одно решение.

(1) (2) (рис.3)

2)Отображение :A→B называется инъективным, если при этом отображении различные элементы отображаются различно.

В графическом изображении каждый элемент множества В имеет не больше одной входящей дуги(рис.2).

2)Отображение :A→B называется биективным (рис.3)(взаимно однозначным), если при этом отображении каждый элемент множества В имеет в точности один прообраз.

Каждый элемент множества В имеет в точности одну дугу.

Уравнение (1) имеет в точности одно решение.

Отображение является биективным, если оно одновременно и сюръективно и биективно.

Сюрькект. Инъек. Биект.