- •Множества. Основные понятия.
- •Операции над множествами и их свойства.
- •Декартово произведение. Разбиение множеств.
- •Алгебра множеств
- •Отношение. Бинарное отношение
- •Алгебра бинарных отношений
- •Отображение. Виды отображений
- •Отношение порядка. Изоморфизм упорядоченных множеств.
- •Алгебраические системы. Изоморфизм алгебраических систем.
- •Функции алгебры логики.
- •Формулы. Реализация функций формулами.
- •Эквивалентность формул. Свойства элементарных булевых функций.
- •Двойственные функции. Принцип двойственности
- •Разложение булевых функций по переменным. Сднф.
- •Разложение булевых функций по переменным. Скнф.
- •Полнота и замкнутость.
- •Представление булевых функций в виде полинома Жегалкина. Теорема Жегалкина.
- •Классы т0, т1.
- •Класс s.
- •Класс м.
- •Класс l
- •Задача минимизации булевых функций.
- •Задача минимизации булевых функций в геометрической постановке.
- •Сокращенные днф.
- •Тупиковые днф и решение задачи минимизации.
- •Графы. Основные понятия.
- •Орграфы. Основные понятия.
- •Маршруты. Цепи. Циклы. Связность.
- •Операции над графами
- •30.Двудольные графы.
- •31. Планарные графы.
- •32. Эйлеровы и гамильтоновы графы
- •33. Дерево. Лес
- •34. Графическое разбиение.
- •35. Способы задания графов
- •36. Типы связности орграфов
- •38. Задача о минимальном остовном дереве. Алгоритмы Прима и Краскала.
- •39. Задача о максимальном потоке и минимальном разрезе. Алгоритм Форда-Фалкерсона.
- •40. Теорема Форда-Фалкерсона
Задача минимизации булевых функций.
Любую булеву функцию можно представить в виде ДНФ, при чем это представление не единственно.
Они отличаются числом элементарных конъюнкций, букв, отрицаний. Качество такого представления оценивается при помощи индексов простоты.
Задача минимизации: необходимо найти такое представление функции в виде ДНФ, которое имеет минимальный индес простоты.
Рассматривается 3 отдельных задачи:
1)минимизация числа конъюнкций
2)минимизация числа букв
3)минимизация числа отрицаний
Эти задачи можно решать следующим образом:
1)найти всевозможные представления ф-ции в виде ДНФ с ограниченным числом конъюнкций,букв, отрицаний;
2)среди этих предствалений найти то, которое имеет минимальный индекс простоты. Такой способ называется переборным (ограничение на число букв, конъюнкций, отрицаний)
Редко применим.
Задача минимизации булевых функций в геометрической постановке.
Любая булева функция однозначно определяется множеством наборов, на которых она принимает единичное значение. Множество таких наборов обозначим через Nf. Это множество можно интерпретировать как множество вершин N-мерного куба с единичным ребром, где n-количество переменных данной функции f.
Гранью типа αi1,αi2,…,αik n-мерного куба называется множество вершин этого куба таких, что xi1=αi, xi2=αi2,…,xik=αik
Число k называется рангом грани, число (n-k)-размерность грани(число свободных переменных, нефиксированных).
Каждая грань определяет некоторый подкуб n-мерного куба, и наоборот-каждому подкубу соответствует грань.
Каждой грани соответствует элементарная &, в том смысле, что на вершинах этой грани, и только на них данная елементарная & принимает единичные значения. Соответствие между гранями и элементарными & взаимнооднозначные.
К=xi1^σi1, xi2^σi2,…,xik^σik (σijЄ{0,1})
Если задана (геометрически) некоторая грань, то соответствующая ей элементарная конъюнкция строится следующим образом:выделяются те координаты, значения которых не вершинах грани фиксированы, только эти переменные входят в элементарную &, причём входят в степени σ, где σ-значение соответствующей переменной.
Свойства введённого соответствия.
Пусть f=g∪h. Тогда:
1.Ng⊆Nf, Nh⊆Nf
2.Nf=Ng∪Nh
Пусть f=∪Ki. Тогда:1.Nki⊆Nf; 2.Nf=∪Nki
i i
Последнее соотношение 1 и 2 можно интерпретировать покрытие Nf гранями, целяком лежащими в Nf. Каждому такому покрытию соответствует представление ф-ции в виде ДНФ. Верно и обратное.
Взяли конкретное множ с куба. Его можно покрыть:
1.только вершинами;
2.только рёбрами
3.квадратные вершины
4.квадратом и ребром
Задачу минимализации числа элементарных & можно переформулировать след образом: среди всевозможных покрытий множества Nf гранями, целяком лежащие в Nf, необходимо найти покрытие с минимальным числом граней.
С увеличением размерности грани, число букв соответствующей элементарной & уменьшается. Поэтому задачу минимализации числа букв можно переформулировать следующим образом:среди всевозможных покрытий множества Nf необходимо найти такое покрытие, которое имеет минимальны й ранг.