14) Транспортна задача: випадки вродженості

Опорний план транспортної задачі, як зазначалося раніше, має містити не більше ніж (m + n – 1) відмінних від нуля компонент. Якщо їх кількість дорівнює (m + n – 1), то такий опорний план називають невиродженим. Якщо ж кількість додатних компонент менша ніж (m + n – 1), то опорний план є виродженим. Вироджений план може виникати не лише за побудови опорного плану, але і при його перетвореннях у процесі знаходження оптимального плану.

Найчастіше, щоб позбутися виродженості опорного плану, в деякі клітини таблиці транспортної задачі в необхідній кількості вводять нульові постачання. Обсяги запасів постачальників і потреби споживачів після цього не змінюються, однак клітини зі значенням «нуль» вважаються заповненими.

Головною умовою при введенні нульової поставки є збереження необхідної і достатньої умови опорності плану транспортної задачі — його ациклічності. Клітина має вибиратись у такий спосіб, щоб неможливо було побудувати замкнений цикл.

15) Альтернативний оптимум в транспортних задачах

Если в процессе решения транспортной задачи получено решение, в котором количество занятых клеток меньше m+n-1, то это решение называется вырожденным. Расчет потенциалов выполнить невозможно. В этом случае недостающее число занятых клеток восполняется путем введения нулевых поставок в некоторые клетки (их выбор определяется возможностью расстановки потенциалов). Далее такие клетки считаются занятыми, и решение продолжается обычным образом.

Признаком наличия альтернативного оптимума в транспортной задаче является равенство нулю оценки хотя бы одной из свободных клеток в оптимальном решении. Для решении задачи следует найти все оптимальные решения (дающие одинаковое значение целевой функции), последовательно строя циклы относительно всех клеток, имеющих нулевые оценки.

Если два решения    и   являются оптимальными, то множество всех оптимальных решений имеет вид:

,   где  .

Если оптимальных решений более двух, то множество всех оптимальных решений является множеством выпуклых линейных комбинаций этих оптимальных решений, т.е. ответ следует записать в виде:

, где 

 

16) Динамічне програмування: математична модель, особливості.

Динамічне програмування — це математичний апарат, за допо­могою якого розв'язуються багатокрокові задачі оптимального управ­ління. У такому програмуванні для управління процесом серед мно­жини всіх допустимих рішень шукають оптимальне в сенсі певного критерію, тобто таке рішення, яке дає екстремальне (найбільше або найменше) значення цільової функції — деякої числової характерис­тики процесу. Під багатоступеневістю розуміють або багатоступеневу структуру процесу, або розподіл управління на ряд послідовних ета­пів, що відповідають, як правило, різним моментам часу. Таким чи- ном, слово «програмування» означає прийняття управлінських рішень, а слово «динамічне» вказує на суттєве значення часу та порядку вико­нання операцій у процесах і методах, що розглядаються. До задач динамічного програмування належать задачі календарно­го планування, розподілу інвестицій, управління запасами, поточного та капітального ремонту, вибору методів проведення реклами тощо.

Розглянемо загальну постановку задачі цього програмування. Нехай досліджується деякий економічний процес, що має n послідовних ета­пів. На кожному 7-му етапі процес може бути в різних станах s і, кожний з яких характеризується скінченою множиною параметрів. З кожним етапом задачі пов'язане прийняття певного управлінського рішення Xi, яке переводить систему з одного стану в інший. Припускається, що стан Si системи в кінці /-го етапу визначається лише попереднім станом S^1 та управлінням Xi на /-му етапі й не залежить від попередніх станів та управлінь. Тоді стан s і системи записується у вигляді залежності

Ефективність усього процесу управління може бути подана як сума ефективностей управлінських рішень окремих етапів, тобто За названих умов задача динамічного програмування формулюєть­ся так: визначити таку допустиму послідовність управлінських рішень X = { X1, x2, ..., xn }, котра переводить систему з початкового стану s0 у завершальний стан sn і за якої досягається максимальна ефективність управління. Плануючи багатоетапний процес управління, в задачах динамічно­го програмування необхідно на кожному етапі обирати управлінське рішення з урахуванням його наслідків на тих етапах, які ще попереду. Лише на останньому кроці можна прийняти управлінське рішення, що дасть максимальний ефект, оскільки наступного кроку для нього не іс­нує. Тому задачі динамічного програмування розв'язуються з кінця. Ураховуючи цю закономірність, для довільного к-то етапу можемо записати рекурентну залежність

Така рекурентна залежність являє собою математичний запис принципу оптимальності Белмана. Визначивши за рекурентними залежностями умовно-оптимальний ефект на початковому етапі, проводять безумовну оптимізацію управ­ління у «зворотному» напрямі, в результаті чого знаходять послідов­ність управлінських рішень, що забезпечує максимальну ефективність системи в цілому. Основні особливості методу динамічного програмування 1. Ідея і метод динамічного програмування найбільше пристосова­ні до дискретних задач, якими в більшості є задачі управління. 2. Метод динамічного програмування можна застосовувати за будь-якого способу завдання цільової функції та з будь-якою припус­тимою множиною станів та керувань. Цієї переваги позбавлені класи­чні методи оптимізації та інші обчислювальні методи математичного програмування. 3. Обчислювальні схеми методу динамічного програмування в дискретному випадку пов'язані з перебиранням оптимальних значень показника ефективності й керування на k-му кроці для всіх можливих значень змінної стану, але обсяг розрахунків при цьому значно мен­ший, ніж за прямого перебирання варіантів. Це пов'язано з тим, що на етапі умовної оптимізації невдалі варіанти відразу відкидаються, а зберігаються лише умовно оптимальні на даному кроці. Максимум цільової функції на заключному n-му етапі дорівнює 4. Метод динамічного програмування дає можливість аналізу чут­ливості до зміни вихідних даних станів sk та їх кількості n. Фактично тут на кожному кроці розв'язується не одна задача, а множина одно­типних задач для різних станів sk і різних k (1 < k < n). Тому зі змі­ною вихідних даних можна не розв'язувати задачу заново, а зробити лише нескладні додавання до вже виконаних розрахунків, тобто про­довжити вже розв'язану задачу за рахунок збільшення кількості кроків n або кількості значень sk.