10. Транспортна задача: математична модель, типи та особливості.

Представляє собою ЗЛП. Це означає, що її можна досліджувати і розв’язувати, використовуючи теорію ЛП. Використовуючи специфіку ТЗ, для неї існують свої методи розв’язання, які є більш прості, ніж загальні.

Економічна постановка.

Деякий однорідний продукт перевозиться з m пунктів постачання з обсягами a_i, і=1, m в n пунктів споживання з потребами b_ij, j=1,n.

Із всіх пунктів постачання у всі пункти споживання представлені у вигляді матриці перевезення.

Необхідно знайти такий оптимальний план перевезень, щоб загальна вартість всіх перевезень була мінімальною.

Математична постановка.

Позначимо через x_ij – кількість однорідної продукції, яка перевозиться із і-го пункту постачання в b_j - пункт споживання.

Умову ТЗ зручно задавати у вигляді симплекс-таблиці для ТЗ.

Bj Ai		B1	B2	…	Bn
		b1	b2	…	bn
A1	a1	c11 X11	c12 X12	…	c1n X1n
A2	a2	c21 X21	c22 X22	…	c2n X2n
…	…	…	…	…	…
Am	am	cm1 Xm1	cm2 Xm2	…	cmn Xmn

Функція мети, яка економічно означає, що сумарна вартість перевезень повинна бути мінімальною, математично можна записати наступним чином:

Z = c₁₁x₁₁ + c₁₂x₁₂ + … + c_1nx_1n +

+ c₂₁x₂₁ + c₂₂x₂₂ + … + c_2nx_2n + (1)

+ c_m1x_m1 + c_m2x_m2 … + c_mnx_mn  min

Так, як вся продукція повинна бути вивезена із пункту постачання, то математично це можна записати наступним чином:

x₁₁ + x₁₂ + … + x_1n = a₁

x₂₁ + x22 + … + x2n = a₂ (2)

x_m1+ x_m2 + … + x_mn = a_m

Всі потреби пунктів споживання повинні бути виконані, то це можна записати наступним чином:

x₁₁ + x₁₂ + … + x_1n = b₁

x₂₁ + x22 + … + x2n = b₂ (3)

x_m1+ x_m2 + … + x_mn = b_m

(1)-(4) – математична постановка ТЗ.

Транспортна задача — це специфічна задача лінійного програмування, застосовувана для визначення найекономічнішого плану перевезення однорідної продукції від постачальників до споживачів.

Математична модель транспортної задачі має такий вигляд:

за обмежень

де x_ij – кількість продукції, що перевозиться від і-го постачальника до j-го споживача;

c_ij – вартість перевезення одиниці продукції від і-го постачальника до j-го споживача;

a_i – запаси продукції i-го постачальника; b_j – попит на продукцію j-го споживача.

Якщо в транспортній задачі загальна кількість продукції постачальників дорівнює загальному попиту всіх споживачів, то таку транспорту задачу називають збалансованою, або закритою. Якщо ж така умова не виконується, то транспортну задачу називають незбалансованою, або відкритою.

Планом транспортної задачі називають будь-який розв'язок системи обмежень, що вказані вище ТЗ, який позначають матрицею

11) Умови оптимальності в методі потенціалів, її обґрунтування.

У методі потенціалів кожному рядку i і кожному стовпцю j транспортної таблиці ставляться у відповідність числа (потенціали)   і  . Для кожної базисної змінної  потенціали   і   задовольняють рівнянню:

Щоб знайти значення потенціалів з цієї системи рівнянь, потрібно присвоїти одному з них довільне значення (зазвичай вважають  ) і потім послідовно обчислювати значення інших потенціалів.

Далі, використовуючи знайдені значення потенціалів, для кожної небазисной змінної обчислюються величини  .

Якщо всі ці числа є недодатними то опорний план є оптимальним і розв'язування на цьому завершується. В іншому випадку знаходиться найбільше додатнє значення і відповідна йому змінна вводиться в базис. Для визначення змінної, що виводиться з базису будується послідовність:

де   — змінна, що вводиться в базис, а всі інші змінні є базисними. Окрім цього в цій послідовності при переході на кожному етапі одна координата залишається незмінною і якщо при певному переході незмінною була перша координата, то на наступному незмінною буде друга. Якщо зображувати перехід між змінними на транспортній таблиці стрілками між відповідними клітинами це оначає, що переходи можуть бути лише вертикальними чи горизонтальними, але не діагональними, і також після горизонтального переходу має йти вертикальний і навпаки.

Після побудови послідовності   можна записати значення відповідних змінних і знайти мінімальне значення серед чисел, що стоять на непарних позиціях. Наступним кроком це число слід додати до всіх змінних, що стоять на парних позиціях і віднти від всіх змінних, що стоять на непарних. Змінна якій відповідало найменше число виводиться з базиса.

В такий спосіб одержується новий опорний план і до нього можна знову застосувати ті ж дії.