22. Задача про кільцевий маршрут та її розв’язування.

За допомогою задач про кільцевий маршрут розв’язуються задачі інформаційного характеру, задачі оптимальної послідовності виконання елементів та інші задачі у яких необхідно знайти оптимальні зв’язки між елементами.

Зміст задачі про кільцевий маршрут: треба m точок, у кожній з яких необхідно побудувати тільки один раз; маршрут обходу має бути кільцевим.

Математична модель задачі про кільцевий маршрут:

Цільова функція:

F=

Обмеження:

Умова тільки одного входу та виходу з кожної точки

Умова тільки двох станів змінних: 0 та 1

Умова виключення петель з маршруту

.Найефективнішим методом розв’язування задачі є метод розгалужень і меж.

(продолжение смотри в 23!)

23. Алгоритм методу розгалужень та меж.

Розв’язування задачі методом розгалужень та меж здійснюється за таким алгоритмом:

1) Знаходження повністю зведеної матриці. Для цього у кожному і-му рядку початкової матриці ||C_ij|| вибирається мінімальний елемент і знаходяться нові значення

Потім у такій матриці вибирається мінімальний елемент у кожній j-й колонці і знаходяться нові значення

Таким чином отримуємо повністю зведену матрицю ||С_ij||, у якій у кожній колонці та кожному рядку є принаймні один нульовий елемент.

2) Для цієї матриці знаходиться величина

яка є нижньою межею значення цільової функції усіх допустимих варіантів кільцевих маршрутів.

3) Побудова гілок, які належить оцінити згідно із значенням нижньої межі цільової функції. З цією метою для кожного елемента С_ij =0 знаходиться його оцінка

Тобто, не враховуючи елемент С_ij=0, для якого знаходиться оцінка. Величина цієї оцінки дорівнює сумі мінімального елемента з і-го рядка та мінімального елемента з j-го стовпчика.

З усіх оцінок вибирається найбільша(перспективний елемент) яка вказує на (ij) - дугу, що буде розглядатися далі.

Вибрана (ij)-та дуга включається до дерева-графа з двома гілками: (ij) - входить до послідовності, - не входить до послідовності.

4) З повністю зведеної матриці умовно виключається і-ий рядок та j-ий стовпчик. Потім в одержаній таким чином матриці нульовий елемент з максимальною оцінкою прирівнюється до ∞.

Одержана матриця ||С_ij|| знову перетворюється на повністю зведену, і знаходиться оцінка (ij) дуги

Величина φ записується на вершині (ij) дуги дерева-графа послідовності.

Далі повторюються кроки починаючи з п.2.

5) З повністю зведеної матриці попереднього кроку виключається ij-зв'язок(С_ij = ∞). Одержана нова матриця перетворюється до повністю зведеної і знаходиться цільова функція одержаного напрямку

6) Для модельного пошуку кільцевого маршруту обирається напрямок у якому цільова функція мінімальна. Процес повторюється з п. 3

7) Процедура пошуку за пунктами 3-6 ведеться до одержання матриці розміром 2х2

Така матриця повинна мати таку структуру:

8) До складеної поточної послідовності зв’язку маршруту додаються два зв’язка з матриці 2х2 для нульових елементів.

9) З останнього набору складається кільцевий маршрут, для якого мінімальне значення цільової функції дорівнює останньому елементу цільової функції від частинного напрямку.