24. Задача про максимальний потік та її розв’язок.

Основна задача на мережах – знаходження допустимого максимального потоку з початкової вершини до кінцевої, якщо задані пропускні спроможності кожної дуги мережі ті її типологія.

Математична модель задачі:

Цільова функція:

Обмеження:

k ≠ S, t, k I

0 ≤ x_ij ≤ S_ij

Щоб знайти максимальний потік, необхідно задати неорієнтований граф з прямою і зворотньою пропускною спроможністю по кожному ребру. Якщо заданий орграф, то зворотня пропускна спроможність ребра S_ij = 0.

Алгоритм:

1) Будується початкова матриця графа S = ||S_ij||

2) Вибір розрізу нульового потоку: джерело s з одного боку s S та вся решта вершин графа – з другого боку, тобто розподіл множини вершин І на дві підмножини:

S S' = I

3) Для кожного ребра розділу будується один з допустимих L – шляхів з вершини S до вершини t і знаходиться мінімальний потік кожного допустимого шляху як

Δ_L = min{S_ij}

Де S_ij – пропускна спроможність (ij) – ребра L-го шляху.

Шлях через розріз доцільно вибирати найпростішим.

4) Будується матриця нульового потоку Х. Для кожного L-шляху всі x_ij дорівнюють значенню Δ_L, а елементи, що симетричні їм, дорівнюють -Δ_L; решта елементів матриці дорівнюють 0. Якщо ребро зустрічається кілька разів у різних шляхах з величинами Δ_L, то всі величини Δ_L складаються для цього ребра, але ця сумарна величина не повинна перебільшувати S_ij.

5) Будування матриці S – X (резервів): якщо S_ij = 0, то (ij) – ребро буде насичене. Якщо S_ij ≠ 0, таке ребро має резерв і є можливість збільшити потік через це ребро.

6) Будування списку ребер з резервами(ненасичені ребра) згідно з матрицею Х від вершини s до вершини t. Структура списку:

Перелік вершин з резервами

S: i₁, i₂,…,i_k

i₁: i₁₁, i₁₂,…,i_1k

…

i_n: i_n1, i_n2,…,i_nk

де i₁, i₂,…,i_k – вершини S-го рядку матриці Х, для яких x_ij ≠ 0; i₁₁, i₁₂,…,i_1k – вершини i₁-го рядка матриці Х, де x_ij ≠ 0 і так далі до появи у списку кінцевої вершини t.

7) Згідно із отриманим списком складається ланцюг ненасичених ребер, які ведуть від S до t

(S i₁),…,(i_n-1 i_n), (i_n t)

8) Шлях з ненасичених ребер має можливість збільшити потік на додаткову величину

Δ = min {(S_ij - x_ij)}

Де S_ij – пропускна спроможність (ij) – ребра; х_ij – розрахований потік (ij) – ребра.

9) Будування нової матриці потоку Х на основі попереднього Х: усі елементи ребер ненасиченого шляху збільшуються на величину Δ, симетричні елементи при цьому змінюються на величину -Δ. Для нової матриці потоку Х треба також зробити аналіз починаючи з п.5.

10) Якщо неможливо скласти список до кінцевої вершини t, то це означає, що досягнуто насичення ребер шляхів, які ведуть від S до t, тобто знайдений максимальний потік, величина якого дорівнює сумі х_ij рядка S з останньої матриці Х:

11) Будування орграфа згідно з дугами (ij), для яких x_ij ≠ 0 у матриці Х.

25. Задача про найкоротшу відстань та метод її розв’язування.

Задача про найкоротшу відстань э типовою транспортною задачею у сітьовій постановці.

Щоб розв’язати задачу у сітьовій постановці треба знайти топологію сіті та величини пропускних спроможностей S_ij.

Математична модель:

Цільова функція:

Обмеження:

Початковий пункт

Кінцевий пункт

Алгоритм розв’язування

Обчислювальна процедура розв’язування задачі розглядається для мережі без циклів і з однією початковою S та кінцевою t вершинами.

Заздалегідь усі вершини І графа мають бути упорядковані, тобто пронумеровані згідно з напрямом дуг зліва направо.

Кожна дуга повинна мати оцінку α_ij – відстань від і-ї точки до j-ї вершини.

1) Розбиття множини І на дві підмножини S S' = I

Первісно у множину S входить тільки одна вершина і=1, тобто джерело S.

2) Вибір вершини j S' з α_ij ≠ ∞ і знаходження оцінки

3) Закріплення за j-ю вершиною оцінки U_j.

4) Переведення j-ї вершини з підмножини S' у підмножину S та привласнення їй наступного номеру і.

5) Перехід до наступної вершини j S'.

6) Перевірка, чи всі вершини переглянуто, тобто, чи дійшов процес розв’язування до вершини t. Якщо так, то переходимо до наступного пункту, якщо ні – повертаємося до п.2.

7) Знаходження найкоротшої відстані L = U_t та будування найкоротшого шляху {(ij)}.