5. Альтернативний оптимум задач лінійного програмування.

Известно, что задача линейного программирования может иметь несколько опорных решений, в которых целевая функция достигает оптимального значения (альтернативный оптимум).

При решении задачи с альтернативным оптимумом надо выяснить следующие вопросы:

1. установить признаки существования в задаче альтернативного оптимума;

2. найти все оптимальные опорные решения.

Пусть в результате некоторой итерации мы пришли к таблице, в которой все оценки Следовательно, мы получили оптимальное решение:

Если все оценки свободных переменных положительные, то введение любой из них в базис приведет к уменьшению функции Тогда существует только одно оптимальное решение.

Если какая-либо оценка свободной переменной равна нулю (например, ), то введение этой переменной в базис не меняет функции но при этом получаем другое оптимальное опорное решение.

Итак, признаком существования альтернативного оптимума при расчете по симплексным таблицам является наличие хотя бы одной нулевой оценки свободной переменной при не отрицательности всех остальных оценок.

Если нулевых оценок несколько, то введением в базис всех соответствующих свободных переменных можно найти оптимальные опорные решения.

6. Двоїста пара задач: типи та алгоритми перетворення.

Для побудови двоїстої задачі необхідно звести пряму задачу до стандарт. вигляду. Задача лінійного програмування подана у стандарт. вигляді, якщо для відшукання максимального значення цільової функції всі нерівності її системи обмежень приведені до вигляду “<=”, а для відшукання мінімального значення до виду “>=”. Дв. задача утв. За такими правилами:

1.Кожному обмеженню прямої задачі відповідає змінна двоїстої задачі. К-сть невідомих двоїстої задачі=к-сті обмежень прямої задачі.

2.Кожній змінній прямої задачі відповідає обмеження двоїстої задачі, причому к-сть обмежень двоїстої задачі=к-сті невідомих прямої задачі.

3.Якщо цільова ф-я прямої задачі задається на пошук max, то цільова ф-я двоїстої задачі-на визначення min, і навпаки.

4.Коефіцієнтами при змінних у цільовій функції двоїстої задачі є вільні члени системи обмежень прямої задачі.

5.Правими частинами системи обмежень дв. задачі є коефіцієнти при змінних у цільовій функції прямої задачі.

6.Матриця

Що скл. З коефіцієнтів при змінних у системі обмежень прямої задачі, і матриця коефіцієнтів у системі обмежень дв. задачі.

утв. одна з одної транспортуванням.

У симетричних задачах обмеження пр. та дв. задач є лише нерівності, а змінні обох задач можуть набувати лише невід'ємних значень. У несиметричних задачах деякі обмеження пр. задачі можуть бути рівняннями, а двоїстої-лише нерівностями. Відповідні рівнянням зміння дв. задачі можуть набувати значень, не обмежених знаком.

Пари задач лінійного програмування бувають симетричні та несиметричні.

У симетричних задачах обмеження прямої та двоїстої задач є лише нерівностями, а змінні обох задач можуть набувати лише невід’ємних значень.

У несиметричних задачах деякі обмеження прямої задачі можуть бути рівняннями, а двоїстої — лише нерівностями. У цьому разі відповідні рівнянням змінні двоїстої задачі можуть набувати будь-яких значень, не обмежених знаком.