11.Правило составления дифференциальных уравнений колмагорова

Уравнения Колмогорова для определения вероятностей состояний системы. Пример. [1/3]

Пример: техническое устройство состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего, практически мгновенно, начинается ремонт узла, который продолжается заранее известное время.

Составим размеченный граф переходов:

В озможные состояния:

z₀ – оба исправны.

z₁ – первый ремонтируется, второй исправен.

z₂ – второй ремонтируется, первый исправен.

z₃ – оба ремонтируются.

Интенсивность потока отказов – это среднее число отказов на единицу времени.

- число отказавший элементов за время

- число исправных элементов к моменту времени t.

P­_i(t) – вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии z_i

Дифференциальные уравнения, в которых неизвестными являются вероятности p_i(t) называют уравнениями Колмогорова

P­₀(t) – вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии z₀

Дадим малое приращение t+∆t и найдём p₀(t+∆t) – вероятность того, что система будет находиться в состоянии z₀ в момент времени t+∆t

1. p₀(t)[1- ]

- выводящие потоки

- вероятность того, что за время система выйдет из состояния z₀

2. p₁(t)

- Вероятность перехода системы из состояния z₁ в состояние z₀ за время

3. p₂(t)

- Вероятность перехода системы из состояния z₂ в состояние z₀ за время

p₀(t+∆t)= p₀(t)[1- ]+ p₁(t) + p₂(t)

Любое из этих уравнений можно отбросить и заменить на уравнение формировки p₀+p₁+p₂+p₃=1

Начальные условия p₀(0)=1 p₁(0)=p₂(0)=p₃(0)=0

Общее правило составлений уравнений Колмогорова: в левой части каждого уравнения стоит произведение вероятности какого-нибудь i-го состояния. В правой части сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых идут стрелки в данное состояние умноженное на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из этого состояния, умноженное на вероятность данного i-го состояния.

Заменяя левые части в уравнениях нулями, получим систему линейных алгебраических уравнений, в которых неизвестными является финальные вероятности. Под финальной вероятностью понимают предел, к которому стремится функция p_i(t)

Финальную вероятность состояния z_i можно толковать как среднее относительное время пребывание системы в этом состоянии

	0.4	0.2	0.25	0.15
	2/5	1/5	1/4	3/20
	Z0	Z1	Z2	Z3

12.Описание простейшей системы с отказами

 Дано: система имеет один канал обслуживания, на который поступает простейший поток заявок с интенсивностью  . Поток обслуживаний имеет интенсивность  . Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.

Найти: абсолютную и относительную пропускную способность СМО и вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t, получит отказ.

Система при любом t > 0 может находиться в двух состояниях: S₀ – канал свободен; S₁ – канал занят. Переход из S₀ в S₁ связан с появлением заявки и немедленным началом ее обслуживания. Переход из S₁ вS₀ осуществляется, как только очередное обслуживание завершится (рис.16.1).

Рис.16.1. Граф состояний одноканальной СМО с отказами

Выходные характеристики (характеристики эффективности) этой и других СМО будут даваться без выводов и доказательств.

Абсолютная пропускная способность (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени):

где  – интенсивность потока заявок (величина, обратная среднему промежутку времени между поступающими заявками -  );

– интенсивность потока обслуживаний (величина, обратная среднему времени обслуживания  )

Относительная пропускная способность (средняя доля заявок, обслуживаемых системой):

Вероятность отказа (вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной):

Очевидны следующие соотношения:  и  .

Пример. Технологическая система состоит из одного станка. На станок поступают заявки на изготовление деталей в среднем через 0,5 часа  . Среднее время изготовления одной детали равно  . Если при поступлении заявки на изготовление детали станок занят, то она (деталь) направляется на другой станок. Найти абсолютную и относительную пропускную способности системы и вероятность отказа по изготовлению детали.

Решение.

 

Т.е. в среднем примерно 46 % деталей обрабатываются на этом станке.

.

Т.е. в среднем примерно 54 % деталей направляются на обработку на другие станки.