36. Экстремальные задачи теории полезности. Метод множителей Лагранжа.

Метод множителей Лагранжа, метод нахождения условного экстремума функции f(x), где х R , относительно m ограничений φ_i(x) = 0, i меняется от единицы до m.

Описание метода

Составим функцию Лагранжа в виде линейной комбинации функции f и функций φi, взятыми с коэффициентами, называемыми множителями Лагранжа — λi,

, где λ=(λ1,…, λm).

Составим систему из n + m уравнений, приравняв к нулю частные производные функции Лагранжа L(x,λ) по xj и λi.

Если полученная система имеет решение относительно параметров x'j и λ'i, и градиент функции f(x) в точке x’=(x’₁,…, x’_n) не равен нулю, тогда точка x' может быть условным экстремумом, то есть решением исходной задачи. Заметим, что это условие носит необходимый, но не достаточный характер

37. Сети Петри . математический аппарат для моделирования динамических дискретных систем. Впервые описаны Карлом Петри в 1962 году.

Сеть Петри представляет собой двудольный ориентированный граф, состоящий из вершин двух типов — позиций и переходов, соединённых между собой дугами, вершины одного типа не могут быть соединены непосредственно. В позициях могут размещаться метки (маркеры), способные перемещаться по сети.

Событием называют срабатывание перехода, при котором метки из входных позиций этого перехода перемещаются в выходные позиции. События происходят мгновенно, разновременно при выполнении некоторых условий.

Некоторые виды сетей Петри:

Временная сеть Петри — переходы обладают весом, определяющим продолжительность срабатывания (задержку).

Стохастическая сеть Петри — задержки являются случайными величинами.

Функциональная сеть Петри — задержки определяются как функции некоторых аргументов, например, количества меток в каких-либо позициях, состояния некоторых переходов.

Цветная сеть Петри — метки могут быть различных типов, обозначаемых цветами, тип метки может быть использован как аргумент в функциональных сетях.

Ингибиторная сети Петри — возможны ингибиторные дуги, запрещающие срабатывания перехода, если во входной позиции, связанной с переходом ингибиторной дугой находится метка.

WF-сети

Анализ сетей Петри

Основными свойствами сети Петри являются:

Ограниченность — число меток в любой позиции сети не может превысить некоторого значения K.

Безопасность — частный случай ограниченности, K=1.

Сохраняемость — постоянство загрузки ресурсов, постоянна. Где Ni — число маркеров в i-той позиции, Ai — весовой коэффициент.

Достижимость — возможность перехода сети из одного заданного состояния (характеризуемого распределением меток) в другое.

Живость — возможностью срабатывания любого перехода при функционировании моделируемого объекта.

В основе исследования перечисленных свойств лежит анализ достижимости.

38. Модели систем в виде сетей Петри.

Д ля описания параллельных процессов. Это двудольный граф, снабженный разметкой ( двудольный – имеется два типа вершин)

1 тип обозначается : - это позиции. 2 тип обознач: | - это переход.

Д уги могут быть кратными.

Разметка представляет собой вектор, компоненты которого сопоставлены позиции:

Размеченные сети Петри.

Имеется в начальный момент 1 метка и нет дуг – автоматная сеть. Сеть может изображать параллельные процессы, имеющие причинно-

-обусловленный характер.

Позиции – это условие (сопоставляются) => Переходы – события.

События приводят к изменению условий. Возможность событий определяется условиями.

Один из способов определения возможности наступления события:

1. Событие (или переход) считается допустимым, если по каждой дуге, ведущей в этот переход (по каждой входной дуге) в соответствующей позиции имеется хотя бы 1 метка.

Предусловие – условие наличия меток по каждой входной дуге.

Постусловие - Условие наличия меток по каждой выходной дуге.

Можно моделировать СМО с помощью сетей Петри (Марковские процессы)

Геометрическая интерпретация поведения сети Петри.

/(Про сети Петри читай в предыдущих вопросах)//

Состояние сети характеризуется разметкой в данный момент времени и в результате запусков переходов эта разметка меняется.

Т.о. можно представить сеть Петри как систему векторов разметок и их изменений или систему сложения векторов.

аа

Возникают 2 типа задач:

1 Достижимости, - заключается : можно ли с помощью этих векторов сконструировать переход?

Она решается с помощью теоремы отделимости:

Теорема: у можно представить в виде линейной комбинации х1, х2, …., если нет разделяющей плосткости (вектора лежат по одну сторону от раздел плоскости, а требуемый вектор по другую, т.е. такой лин комбинации нет)).

2 Проблема живучисти – т-ма недостижимости нуля: достижим ли ноль из данной позиции.

Какие то переходы всегда будут запускаемыми.

Рекуррентное соотношение:

Чтобы получить надо вектор запуска (х1,х2,х3). Вектор запуска не дает четкой последовательности запуска, возможностей может быть несколько.

В рез-те запуска некоторые метки исчезнут, они будут описываться матрицей

D^-- что будет изываться; D⁺- что будет вновь помещено поле запуска перехода

D = D⁺ - D^-- = [ …. Вычесть и написать … ], т.е.