18. Узкополосные сигналы. Физическая огибающая, полная фаза, мгновенная частота. Свойства физической огибающей и мгновенной частоты узкополосного сигнала.

.

Часто оказывается удобным поставить в соответствие вещественному сигналу некоторый комплексный сигнал Именно так производится, например, символическая запись синусоидального напряжения (или тока) в теории электрических цепей, когда вещественная запись напряжения

заменяется комплексной формой записи

где  При этом

В общем случае произвольного сигнала запись в форме    не является однозначной, поскольку не определена мнимая часть соответствующего комплексного сигнала Заметим, однако, что значения спектра вещественного сигнала в области однозначно определяются значениями при . Поэтому вещественный сигнал может быть однозначно выражен с помощью комплексного сигнала , спектр которого тождественно отличен от нуля лишь при и совпадает в этой области со спектром сигнала . Имеем:

Функция , комплексно сопряженная с ,

Таким образом,  s(t) = s₊^*(t) + s₊(t) = 2Res₊(t),   так что вещественному сигналу при этом ставится в соответствие вполне определенный комплексный сигнал вида:  

      С целью определения мнимой части комплексного сигнала введем в рассмотрение функцию : 

При этом можно показать, что справедливо соотношение: 

Соотношения (1.12), (1.13) определяют прямое и обратное преобразования Гильберта, а функции и называются сопряженными по Гильберту.При этом интегралы в (1.12), (1.13) понимаются в смысле главного значения Коши. 

      Вычислим спектр функции :

Представим (1.14) в форме:

Меняя порядок интегрирования в (1.15), а затем производя замену переменной , получаем:

Так как

из (1.16) окончательно имеем:

Отсюда, в частности, следует, что физический смысл преобразования Гильберта заключается в повороте начальных фаз всех спектральных составляющих исходного сигнала на один и тот же угол, равный , поскольку множитель –jэквивалентен множителю . Такая операция может быть выполнена с помощью широкополосного фазовращателяна .

Используя полученный результат, легко убедиться в том, что если функция является преобразованием по Гильберту сигнала , т.е.

то спектр комплексного сигнала совпадает со спектром функции , так что Действительно, преобразование Фурье комплексного сигнала в таком случае имеет вид:

что совпадает с удвоенным спектром .

      Комплексная функция , определяемая выражением (1.18), называется аналитическим сигналом, соответствующим вещественному сигналу .

Заметим, что символическая запись синусоидальных колебаний (1.9) является частным случаем общей формы записи (1.18), т.е. (1.9) можно представить следующим образом:

В самом деле, вычислим преобразование Гильберта функции .

Имеем:

Поскольку в смысле главного значения

окончательно получаем:

откуда с учетом (1.9) и следует (1.19).