11. Спектральный анализ непериодических сигналов. Преобразование Фурье.

Основой исследования детерминированных сигналов является спектральный анализ. Спектральный анализ — совокупность методов качественного и количественного определения состава объекта, основанная на изучении спектров взаимодействия материи с излучением, включая спектры электромагнитного излучения, акустических волн, распределения по массам и энергиям элементарных частиц и др. В зависимости от целей анализа и типов спектров выделяют несколько методов спектрального анализа.

Понятие спектрального анализа является довольно широким. Оно применимо к рассмотрению любых функций в виде обобщенного ряда Фурье. При анализе сигналов обычно используется преобразование или ряд Фурье, позволяющие перевести анализ в частотную область. Сигнал рассматривается как бесконечная или конечная совокупность гармонических составляющих.

Спектральный анализ непериодических сигналов основан на использовании преобразования Фурье.Преобразование Фурье — операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Прямое и обратное преобразования Фурье устанавливают взаимно однозначное соответствие между сигналом (временной функцией, описывающей сигнал s(t)) и его спектральной плотностью :

, . (1)

Функция в общем случае является комплексной и как комплексная величина может быть представлена в виде

(2)

где Re, Im - действительная и мнимая части комплексной величины;

, - модуль и аргумент комплексной величины.

. (3)

Модуль спектральной плотности сигнала описывает распределение амплитуд гармонических составляющих по частоте, называется амплитудным спектром. Аргумент дает распределение фазы по частоте, называется фазовым спектром сигнала. Амплитудный спектр является четной функцией, а фазовый спектр – нечетной функцией частоты

(4)

Сигнал полностью описывается совокупностью амплитудного и фазового спектров.

12. Преобразование Фурье. Основные свойства преобразования Фурье.

Преобразование Фурье — операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Прямое преобразование Фурье имеет вид:

здесь x(t) - некоторая функция, j - мнимая единица.

Это преобразование часто записывают в форме: X(f) = F[x(t)].

Исходная независимая переменная измеряется, как правило, в секундах, а получаемая независимая переменная f - в герцах. Преобразование Фурье существует, если выполняется условие абсолютной интегрируемости функции x(t):

Обратное преобразование Фурье записывается в виде:

С преобразованием Фурье тесно связано понятие дельта-функции (функции Дирака). Это функция, график которой имеет бесконечную высоту, нулевую ширину и площадь, равную единице. Математическое определение дельта-функции имеет вид:

Найдем обратное преобразование Фурье функции :

Прямое и обратное преобразования Фурье устанавливают взаимно однозначное соответствие между сигналом (временной функцией, описывающей сигнал s(t)) и его спектральной плотностью :

, . (1)

Функция в общем случае является комплексной и как комплексная величина может быть представлена в виде

(2)

где Re, Im - действительная и мнимая части комплексной величины;

, - модуль и аргумент комплексной величины.

. (3)

Модуль спектральной плотности сигнала описывает распределение амплитуд гармонических составляющих по частоте, называется амплитудным спектром. Аргумент дает распределение фазы по частоте, называется фазовым спектром сигнала. Амплитудный спектр является четной функцией, а фазовый спектр – нечетной функцией частоты

(4)

Сигнал полностью описывается совокупностью амплитудного и фазового спектров.

Свойства преобразования Фурье:

Свойство 1. Если имеются две функции x(t) и y(t), то их произведение при преобразовании Фурье переходит в интеграл, который называется сверткой и имеет вид:

символ "*" обозначает операцию свертки.

Свойство 2.

Эта теорема о преобразовании Фурье утверждает, что запаздыванию во временной области соответствует умножение на комплексную экспоненту в области частот.