Чебанова Н.А., Гильмутдинова А.Я., Чебанов В.И. Сборник тестовых заданий по математике для ВУЗов [часть 1]
.pdfН.А.ЧЕБАНОВА, А.Я.ГИЛЬМУТДИНОВА, В.И.ЧЕБАНОВ
СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВУЗОВ
УФА 2002
Министерство образования Российской Федерации Уфимский государственный авиационный технический университет
Н.А.ЧЕБАНОВА, А.Я.ГИЛЬМУТДИНОВА, В.И.ЧЕБАНОВ
СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВУЗОВ
ЧАСТЬ 1
Рекомендовано Государственным комитетом Российской Федерации по высшему образованию в качестве учебного пособия для студентов технических направлений и инженерных специальностей высших учебных заведений
2-е издание
УФА 2002
Авторы: Н.А. Чебанова, А.Я. Гильмутдинова, В.И. Чебанов
УДК 51(07) ББК 22.1(Я7)
Ч34
Ч34 Сборник тестовых заданий по математике для вузов: Учебное пособие. Ч. 1 / Н.А. Чебанова, А.Я. Гильмутдинова, В.И. Чебанов; Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. - 2-е изд. -Уфа: УГАТУ, 2002. - 158 с.
ISBN 5-86911-068-8
Содержатся тестовые задания по теории и ее практическим приложениям в объеме базового курса высшей математики для технических университетов. В первой части предлагаются пакеты тестовых заданий по линейной и векторной алгебре, аналитической геометрии, теории пределов, дифференциальному исчислению функции одной переменной.
Предназначается для унифицированного контроля знаний студентов первых курсов технических университетов, может быть использовано в качестве информационно-методического обеспечения государственного образовательного стандарта по математике в вузовском образовании.
Библиогр.: 8 назв.
Научный редактор: |
д-р пед. наук, профессор В.С. Аванесов. |
||
Рецензенты: кафедра математического анализа БГПИ, |
|||
|
д-р физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. Института |
||
|
математики с ВЦ УНЦ РАН А.Б. Секерин. |
||
ISBN 5-86911-068-8 |
© Уфимский |
государственный |
|
|
авиационный |
технический |
|
|
университет, |
|
1995 |
|
© Уфимский |
государственный |
|
|
авиационный |
технический |
|
|
университет, |
2002 |
|
|
© Н.А.Чебанова,А.Я.Гильмутдинова, |
||
|
В.И. Чебанов, |
2002 |
|
СОДЕРЖАНИЕ
|
Предисловие ................................................................................................................. |
|
|
.. 4 |
|
1. Пакеты тестовых |
заданий по тематическому |
модулю |
|||
|
"Линейная алгебра" .............................................................................. |
|
.....14 |
||
2. |
Пакеты |
тестовых |
заданий по |
тематическому |
модулю |
|
"Векторная алгебра"................................................................................. |
|
.42 |
||
3. |
Пакеты тестовых |
заданий по |
тематическому |
модулю |
|
|
"Аналитическая геометрия"........................................ |
|
............................ 62 |
||
4. |
Пакеты |
тестовых |
заданий по |
тематическому |
модулю |
|
"Теория пределов"...................................................................................... |
|
|
90 |
|
5. |
Пакеты |
тестовых |
заданий по |
тематическому модулю |
|
|
"Дифференциальное исчисление функции одной |
||||
|
переменной" (часть 1).............................................................................. |
|
112 |
||
6.Пакеты тестовых заданий по тематическому модулю "Дифференциальное исчисление функции одной
переменной" (часть 2).............................................................................. |
141 |
Список литературы...................................................................................... |
157 |
3
|
|
ПРЕДИСЛОВИЕ |
|
|
|
В пособии предлагаются критериально-ориентированные |
гомогенные |
||||
пакеты |
тестовых |
заданий |
для |
текущего |
контроля, |
которые позволяют четко и объективно определить знания, умения и навыки по конкретной области содержания базового курса математики. Экспериментальные пакеты тестовых заданий по заявленным модулям были апробированы в УГАТУ: участвовали 600 студентов разных направлений бакалаврской подготовки. Проанализировав результаты тестирования и замечания опытных преподавателей, не участвовавших в
разработке |
контрольных |
материалов, |
авторы |
усовершенствовали |
тестовые задания и увеличили их число |
в каждом |
модуле. Моди- |
||
фицированные пакеты тестовых заданий, предлагаемые в пособии, позволяют интенсифицировать и своевременно переструктурировать процесс обучения.
Обучение вообще, и в частности математике, - отнюдь не равномерный, а скорее скачкообразный процесс. У каждого свои способности и склонности, а значит, у каждого свой путь к достижению
математической |
культуры |
(и |
по |
времени, |
и по маршруту). |
Но |
|||
нет такого знания, которое |
познано одним |
человеком |
и |
не может |
|||||
быть познано другим. Для |
каждой |
задачи |
существует |
оптимальный |
|||||
язык, на котором ее следует решать. Важнейший этап |
решения - |
||||||||
поиск такого языка и последующий перевод. Сделать |
|
перевод |
на |
||||||
другой язык - |
значит, логично и |
четко сформулировать |
задание. |
А |
|||||
это не так просто. Здесь предлагаются краткие, четкие, |
красивые |
||||||||
формулировки |
теоретических |
тестовых |
заданий, |
изящные, |
без |
||||
громоздких вычислений, задания на практическое применение усвоенной
теории. |
И если |
после лекций |
или |
книг по |
математике |
студент |
||
в первый момент невольно вздыхает: |
"Правда, |
в голове |
у |
меня |
||||
теперь полно всяких |
мыслей ... |
только |
вот о чем они - не знаю!", |
|||||
то после |
работы |
с |
тестами он |
твердо |
определит, |
что усвоил, а |
что |
|
нет из содержания соответствующего раздела. Преподавателю тестовый
контроль позволяет объективно и качественно |
оценить |
|
структуру |
|
знаний и эффективно измерить их |
уровень у |
каждого |
студента |
|
группы. |
|
|
|
|
Для адекватного отображения тщательно отобранного содержания |
||||
контролируемых разделов используются четыре |
формы |
тестовых |
||
заданий: открытая, закрытая, на |
соответствие |
и |
дополнение. |
|
4
Например,задание по теоретическому |
материалу в закрытой форме: |
|
Если последовательность |
имеет |
конечный предел, то |
она |
|
|
А.Ограничена сверху, но не ограничена снизу Б.Ограничена снизу, но не ограничена сверху В.Ограничена.
Студент |
выбирает |
правильный |
ответ |
и |
пишет: Ответ: В. |
|||||||
Если |
задание в |
открытой |
форме, |
то студент |
должен написать |
|||||||
ответ сам, например: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Геометрический |
смысл коэффициентов |
l, m, |
n в уравнениях |
|||||||||
прямой |
|
x − x0 |
= |
y − y0 |
|
= |
z − z0 |
|
есть ______________________________. |
|||
|
l |
m |
|
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: (l,m,n)-координаты направляющего вектора этой прямой.
Задания на соответствие предполагают умение выбирать правильный ответ для каждого условия. Например:
|
|
Установить соответствие |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведение |
Результат |
|
||||||||
|
|
векторов |
|
|
|
|||||||
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
А. |
0 |
|
|
|
|
j |
j |
|
Б. |
1 |
|
|||||
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
k |
|
j |
|
В. |
-1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г. |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1. Б, |
2. А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В заданиях |
на доказательство, |
например: |
||||||||||
Формулировка |
теоремы |
|
|
о |
|
|
производной |
обратной функции |
||||
такова_____________________. Доказательство.______________________,
студент |
должен |
сформулировать |
теорему |
и |
|
доказать |
|
ее. |
||||||
Тестовый |
|
контроль |
|
проводится |
|
сразу |
после |
|||||||
изучения |
|
|
соответствующего |
раздела |
|
математики |
с |
|||||||
интервалом в |
2-4 недели |
в |
|
|
|
|
|
течение |
семестра |
в |
||||
зависимости |
от |
объема |
модуля. |
|
На |
одно контрольное |
||||||||
тестирование |
|
отводится |
|
2 |
|
академических |
часа. |
|||||||
Рекомендуется |
использовать |
для |
оценки |
номинальную |
шкалу: |
1балл |
||||||||
- за |
правильный |
ответ, |
0 баллов |
- |
в |
противном |
|
случае. |
Тест |
|||||
должен |
быть |
выполнен |
четко, |
с |
полным |
обоснованием ответов |
||||||||
5
как |
теоретических, |
так |
и |
практических заданий. |
Оценка |
|||||
«удовлетворительно» |
выставляется |
за не менее |
50 %, "хорошо" |
-за |
||||||
не |
менее 75 %, |
«отлично» - за |
98-100 % решенных |
заданий |
из |
|||||
теоретической и |
практической |
частей |
теста |
соответственно. |
|
|||||
|
Технология |
использования |
пособия |
следующая: |
перед |
началом |
||||
тестирования раздаются сборники и листы бумаги для ответов, указывается номер пакетa тестовых заданий, обозначается время начала и окончания контроля. По завершении тестирования cтуденты
сдают полученные материалы, листы с |
ответами |
(в |
книге |
никто |
ничего не пишет). |
|
|
|
|
При проверке работ рекомендуется |
выставлять |
суммарный |
балл. |
|
Просматривая проверенные работы, студенты сравнивают свой балл с эталонным и самостоятельно оценивают уровень своих достижений, что
исключает |
ситуации, |
связанные |
с |
субъективными |
|
факторами |
|||||||||
оценки в системе "преподаватель-студент". |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Тестирование при текущем контроле знаний может быть |
||||||||||||||
интегрировано |
с |
обучением, |
так |
как |
помогает студенту |
обнаружить |
|||||||||
и |
исправить |
|
ошибки |
в |
усвоении |
|
учебного |
материала, |
а |
||||||
преподавателю |
|
своевременно |
|
скорректировать |
|
|
методику |
||||||||
обучения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В процессе работы над пособием авторы придерживались программ по |
||||||||||||||
математическим |
дисциплинам, |
составленных |
в |
|
соответствии |
||||||||||
с |
требованиями |
Государственных |
образовательных |
стандартов |
для |
||||||||||
технических |
направлений |
бакалаврской |
|
подготовки |
|
иинженерно- |
|||||||||
технических специальностей, сгруппированных по |
признаку |
близости |
|||||||||||||
содержания |
|
и |
объема |
часов, |
выделенных |
на |
их |
|
изучение. |
||||||
|
Предлагаемые в |
первой |
части |
сборникa |
пакеты |
тестовых |
|||||||||
заданий |
разработаны |
в |
соответствии |
с |
программами |
по |
|||||||||
математическим дисциплинам, выделяющими на изучение рассматриваемых разделов 150-300 часов, состоящими из следующих модулей.
6
ЛИ Н Е Й Н А Я А Л Г Е Б Р А
1.Определители второго и третьего порядков, их свойства, способы вычисления. Алгебраические дополнения и миноры. Определители n-го порядка. Вычисление определителя разложением по строке
(столбцу). Матрицы, линейные |
операции |
и их свойства. |
Умножение матриц, понятие обратной матрицы. |
|
|
2.Системы двух и трех линейных уравнений. Матричная запись системы линейных уравнений. Правило Крамера.
3. Понятие линейного пространства. Линейная независимость, базис
и размерность линейного пространства. Пространство Rn.
4.Ранг матрицы, его свойства. Теорема о базисном миноре. Элементарные преобразования матриц.
5.Системы линейных уравнений, условия их совместности. Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем линейных уравнений методом
полного исключения (методом Гаусса). Однородные системы уравнений. Фундаментальная система решений. Структура общего решения системы линейных уравнений.
ВЕ К Т О Р Н А Я А Л Г Е Б Р А
1.Системы координат на прямой, плоскости и в пространстве.
Пространства R2 и R3. Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы и длина вектора. Коллинеарные, компланарные векторы. Линейная
|
зависимость векторов. |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Базис на |
плоскости |
и в |
пространстве. Координаты |
вектора и |
|||
|
линейной комбинации векторов в данном базисе. Действия над |
|||||||
|
векторами, |
заданными своими координатами. Координаты и |
||||||
|
проекции вектора в ортонормированном базисе. |
|
|
|||||
3. |
Скалярное |
произведение |
векторов |
и |
его |
свойства. Выражение |
||
|
скалярного произведения через координаты сомножителей. Длина вектора |
|||||||
|
и угол |
между |
двумя |
векторами. |
Условие ортогональности |
|||
|
двух векторов. Механический и геометрический смысл скалярного |
|||||||
|
произведения. |
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Векторное |
произведение |
двух |
векторов. |
Выражение через |
|||
|
координаты |
сомножителей. |
Механический |
смысл |
векторного |
|||
|
произведения и геометрический смысл его модуля. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
5. Смешанное |
произведение |
трех векторов, |
его свойства, выражение |
через координаты его |
сомножителей. |
Геометрический смысл |
|
смешанного |
произведения. |
Условие компланарности трех векторов. |
|
АН А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я
1.Уравнения линий на плоскости. Различные формы уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Условия параллельности и
|
перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой |
на |
|||||
|
плоскости. |
|
|
|
|
|
|
2. |
Различные формы уравнения плоскости и прямой в |
пространстве. |
|||||
|
Расстояние от точки до плоскости и прямой в пространстве. |
Угол между |
|||||
|
плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и |
плоскостью. |
|||||
|
Условия параллельности |
и перпендикулярности двух |
плоскостей и |
||||
|
прямой с плоскостью. |
|
|
|
|
|
|
3. |
Кривые второго порядка: |
окружность, |
эллипс, гипербола, парабола, |
||||
|
их |
геометрические |
свойства |
и |
канонические |
уравнения. |
|
Фокальные свойства. Изображение кривых, заданных каноническими уравнениями.
4. Уравнение поверхности в пространстве. Цилиндрические поверхности. Сфера. Конусы. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды.
Геометрические |
свойства |
этих |
поверхностей, |
исследование |
|
их |
форм |
методом |
сечений. |
Изображение |
поверхностей |
второго порядка, заданных каноническими уравнениями. |
|
||||
ТЕ О Р И Я П Р Е Д Е Л О В
1.Понятие множества. Операции над множествами. Числовые
множества, |
промежутки. Ограниченные |
и |
неограниченные |
множества. |
Понятие верхней и нижней |
грани. |
|
2.Последовательности. Предел числовой последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся числовой последовательности. Монотонные последовательности, их пределы. Арифметические действия над последовательностями, имеющими
предел. |
Теорема |
о |
предельном переходе в неравенствах. |
||
Бесконечно |
малые и |
бесконечно большие последовательности, |
|||
связь |
между |
ними . |
Необходимое |
и достаточное условие |
|
8
|
существования конечного предела. Принцип вложенных отрезков. |
||||||||||
3. |
Понятие |
функции, |
способы ее |
задания. |
Сложные |
функции. |
|||||
|
Элементарные функции. Два определения предела функции в точке. |
||||||||||
|
Предел функции на бесконечности. Односторонние пределы. |
||||||||||
|
Ограниченность функции, имеющей предел. Бесконечномалые функции |
||||||||||
|
и их |
свойства. |
Произведение |
бесконечно |
малых |
функций. |
|||||
|
Частное |
от |
деления бесконечно |
малой |
функции на |
функцию, |
|||||
|
имеющую предел, отличный от нуля. |
Предел суммы, |
произведения и |
||||||||
|
частного |
|
функции. |
Переход |
к |
пределу |
в |
неравенствах. |
|||
|
Замечательные пределы, следствия. Сравнение бесконечно малых |
||||||||||
|
функций. |
Эквивалентные |
бесконечно малые. |
Замена |
|
бесконечно |
|||||
|
малых |
эквивалентными при вычислении пределов. Бесконечно |
|||||||||
|
большие функции. Связь между бесконечно большими и бесконечно |
||||||||||
|
малыми функциями. Символы "O" и "o". |
|
|
|
|
|
|||||
4. |
Непрерывность |
функции. |
Непрерывность |
основных |
элементарных |
||||||
|
функций. Свойства непрерывных в точке функций: непрерывность |
||||||||||
|
суммы, |
произведения, частного. Непрерывность сложной и |
|||||||||
|
обратной функции. Односторонняя непрерывность.Точки разрыва |
||||||||||
|
функции и их классификация. Непрерывность функции на отрезке. |
||||||||||
|
Свойства непрерывных на отрезке функций: ограниченность, |
||||||||||
|
существование |
|
наибольшего |
и |
наименьшего |
|
значений, |
||||
|
существование промежуточных значений. Свойство монотонной |
||||||||||
|
функции. Обратная функция и ее непрерывность. |
|
|
|
|||||||
ДИ Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н О Е И С Ч И С Л Е Н И Е
ФУ Н К Ц И И О Д Н О Й П Е Р Е М Е Н Н О Й
1.Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Производная суммы, произведения и частного. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные элементарных функций. Таблица производных.
2.Дифференцируемость функции. Непрерывность дифференцируемой функции. Дифференциал функции. Связь с производной. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Применение дифференциала в приближенных
вычислениях. Производная и дифференциал |
высших порядков. |
Параметрически заданные функции и их |
дифференцирование. |
Дифференцирование функции, заданной неявно. |
|
9