Множество – это совокупность элементов, понимаемых как единое целое (объединенных по некоторому признаку)
Множество X называется ограниченным, если существует число m такое, что для всех x X x m
Если x m – ограничено сверху, x -m – ограничено снизу
Верхней гранью множества X называется supp X такое, что x X x supp X и 0 x0 X x0 supp X -
Нижней гранью множества X называется inf X такое, что x X x inf X и 0 x0 X x0 inf X +
Точка A называется предельной точкой для множества X, если в любой ее проколотой окрестности существуют точки из множества X.
Любой интервал, содержащий точку x0, называется окрестностью точки x0.
Число a называется пределом последовательности Xn, если 0 такой номер N = N (), n N Xn - a
Теорема. Если предел существует, то он единственный.
Теорема. Если последовательность сходится, то она ограничена.
Доказательство.
lim (n) Xn = a N n N Xn - a
Пусть = 1
M = max {X1, X2, ..., Xn, a + 1} Xn M n.
m = min {X1, X2, ..., Xn, a - 1} Xn m n.
Теорема. Если {Xn} монотонно возрастает, т.е. Xn+1 Xn n и ограничена сверху, то она имеет предел. Если {Xn} монотонно убывает, т.е. Xn+1 Xn n и ограничена снизу, то она имеет предел.
Доказательство. Xn убывает, Xn+1 Xn n m m Xn
Пусть m = inf {Xn} 1. n m Xn 2. 0 N XN m +
lim (n) Xn = m 0 N n N m Xn XN m + m - Xn m + .
Теорема о предельном переходе в неравенствах. Пусть lim (n) Xn = a и lim (n) Yn = b и пусть n Xn Yn, тогда a b.
Доказательство. Пусть a b, = (a - b)/2 0.
N1 n N1 b - Yn b +
N2 n N2 a - Xn a +
Пусть n max {N1;N2}
a - Xn Yn b +
a/2 + b/2 a/2 + b/2 (противоречие)
Теорема о вложенных отрезках. Пусть есть система вложенных отрезков [a1;b1] [a2;b2] ... [an;bn] ... Тогда существует точка C, принадлежащая всем отрезкам.
Доказательство. Последовательность a1, a2, ..., an убывает и n an b1, т.е. она имеет предел lim (n) an = a.
Последовательность {bn} возрастает и bn a1, т.е. она имеет предел lim (n) bn = b.
lim (n) (an - bn) = 0 = b – a, т.е. a = b
C = a = b
n an C bn, т.е. C принадлежит всем отрезкам.
Пусть даны два множества D и G. Если каждому элементу множества D ставится в соответствие единственный элемент множества G, то говорят, что задана функция f: D G.
Если D = R и G = R, то функция числовая, если D = N и G = R, то функция последовательность.
Все функции, задаваемые с помощью знаков +, -, * и операцией взятия сложной функции от элементарных называются элементарными функциями.
Предел функции. По Коши: Число a называется пределом функции f (x) при xx0 0 0 x 0 x – x0 f (x) - a .
По Гейне: Число a называется пределом функции f (x) при xx0 {Xn}x0 f (Xn)a (n).
Предел функции на бесконечности.
1. lim (xx0) f(x) =
E 0 0 x 0 x – x0 f(x) E ( для + f(x) E, для - f(x) -E)
2. lim (x) f(x) = a
0 0 x x (для + x , для - x -)
Односторонние пределы.
Число a называется пределом слева (lim (xx0 - 0) f(x) = a), если 0 0 x x0 - x x0 f(x) - a
Число a называется пределом справа (lim (xx0 + 0) f(x) = a), если 0 0 x x0 x x0 + f(x) - a
Теорема. Если lim (xx0) f(x) = a , то функция ограничена в некоторой окрестности точки x0.
Доказательство.
Пусть = 1, тогда x 0 x - x0 a - f(x) a +
Функция f(x) называется бесконечно малой в окрестности точки x0, если предел в этой же точке равен 0.
Теорема. Сумма бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Доказательство. lim (xx0) (x) = 0, lim (xx0) (x) = 0
/2 0 1 0 x 0 x – x0 1 (x) /2
/2 2 0 x 0 x – x0 2 (x) /2
x 0 x – x0 min (1,2) (x) + (x) lim (xx0) ((x) + (x)) = 0
Теорема. Если lim (xx0) f(x) = b 0, то функция 1/f(x) ограничена в некоторой окрестности точки x0.
Доказательство.
Пусть b 0, тогда = b/2 x 0 x – x0 f(x) - b
b – f(x) b - f(x)
b - f(x) = b/2
f(x) b/2
1/f(x) 2/b
Теорема. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция.
Доказательство. Пусть в окрестности точки x0 (x) M и lim (xx0) (x) = 0, тогда /M 0 0
x 0 x – x0 (x) /M
0 0 x 0 x – x0 (x) - (x) /M * M
Теорема. Пусть lim (xx0) f(x) = b 0 и (x)(xx0) 0, тогда (x)/f(x) бесконечно малая функция в окрестности точки x0.
Доказательство. 1/f(x) – ограниченная, *1/f(x) – бесконечно малая (по предыдущим теоремам).
Пусть lim (xx0) f(x) = a и lim (xx0) g(x) = b, тогда:
-
lim (xx0) (f(x) g(x)) = a b
-
lim (xx0) (f(x) * g(x)) = a * b
-
lim (xx0) (f(x)/g(x)) = a/b (при b 0)
Теоремы о предельном переходе в неравенствах.
Теорема 1. Если x f(x) g(x), то lim (xx0) f(x) lim (xx0) g(x)
Теорема 2. Пусть x из окрестности точки x0 (x) f(x) g(x) и lim (xx0) (x) = lim (xx0) g(x) = a, тогда lim (xx0) f(x) = a.
Сравнение бесконечно малых функций.
Функция (x) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем (x) в окрестности точки x0, если lim (xx0) (x)/(x) = 0.
Если бесконечно малые функции (x) и (x) имеют предел lim (xx0) (x)/(x) = k 0 , то (x) и (x) называют сравнимыми или одного порядка малости.
Если k = 1, то (x) и (x) – эквивалентные бесконечно малые.
Теорема. Сумма бесконечно малых функций эквивалента бесконечно малой низшего порядка.
Доказательство. Пусть есть + + и - низшего порядка.
/0 и /0, xx0
lim (xx0) + + / = lim (xx0) / + / + 1 = 1
+ +
Функция f(x) называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если предел в этой точке равен / lim (xx0) f(x) = a
Функция f(x) – бесконечно большая 1/f(x) – бесконечно малая.
Для любых функций (x) и (x) с условием, что lim (xx0) (x)/(x) = 0, пишут (x) = ((x)) и говорят (x) о-малое (x), (x) = ((x)) (x) О-большое (x).
Замечательные пределы.
-
lim (x0) (sin x / x) = 1
-
lim (x) (1 + 1/x)x = e = 2,7
Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в некоторой окрестности этой точки и lim (xx0) f(x) = f(x0)
Теорема. Если функция f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то непрерывна функция f(x) g(x); f(x) * g(x); f(x)/g(x) (g(x) 0).
Точки разрыва.
-
Устранимый разрыв lim (xx0 + 0) f(x) = lim (xx0 - 0) f(x) + f(x0)
-
Разрыв первого рода – оба односторонних предела существуют, и между собой.
-
Разрыв второго рода – один из односторонних пределов не существует или равен .
Функция f(x) называется непрерывной на замкнутом отрезке [a; b], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка, а в точках a и b у нее существуют односторонние пределы.
M – максимальное значение функции f(x) на отрезке [a; b], если x [a; b] f(x) M
m – минимальное значение функции f(x) на отрезке [a; b], если x [a; b] f(x) m
Теорема 1. Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a; b], тогда она достигает свое наибольшее и наименьшее значение.
Теорема 2. Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a; b], тогда она принимает все значения между наибольшим и наименьшим значениями.
m C M x0 [a; b] f(x0) = C
Теорема 3. Пусть f(x) непрерывная на отрезке [a; b] принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, тогда существует точка C [a; b] такая, что f(C) = 0.
Теорема 4. Если в окрестности точки x0 функция y(x) монотонна, то у нее существует обратная функция, которая непрерывна, если непрерывна функция y(x).
Производная.
Производной функции f(x1) называется lim (f(x1 + x) – f(x1)) / x = f ’(x1) = lim (x0) f / x, где x = x2 – x1 – приращение аргумента, f = f(x2) – f(x1) – приращение функции.
f / x = tg tg
Назовем линию L касательной к кривой y = f(x) в точке x0, если для любой секущей, проходящей через x0 и x1, секущая будет стремиться к L при x1x0.
tg - tg угла наклона касательной к кривой в точке x1 k = tg =
f ‘ (x1)
Правила дифференцирования.
-
(u v)’ = u’ v’
-
(u * v)’ = u’v + uv’
-
(u/v)’ = u’v – uv’/v²
Уравнение касательной: y – f(x0) = f ‘ (x0)(x – x0)
Уравнение нормали: y – f(x0) = (- 1/f ‘ (x0))*(x-x0)
Производная сложной функции.
Пусть z = f(y) и y = (x) z = f((x))
z’x = lim (x0) z/x = lim (x0) z/ * /x = z’y * ’x
z’x = z’y + ’x
Производная обратной функции. Если функция у = f(x) и x = g(y) обратные, то y’x = 1/g’y.
Доказательство.
lim (x0) y/x = lim (g0) y/g = lim (g0, y0) 1/ (g/y) = 1/ g’y
Таблица производных:
-
a˟ - a˟ lna
-
loga x – 1/xlna
-
ln x – 1/x
-
sin x – cos x
-
cos x - -sin x
-
sh x – ch x
-
ch x – sh x
-
tg x – 1/cos² x
-
ctg x - -1/sin² x
-
arcsin x – 1/1 - x²
-
arccos x - -1/1 - x²
-
arctg x – 1/1+ x²
-
arcctg x - -1/1+ x²
-
e˟ - e˟
Функция называется дифференцируемой в точке если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде
где.
Если приращение функции f = f(x) – f(x0) можно представить в виде A(x – x0) +(x – x0), то линейная часть A(x – x0) называется дифференциалом функции.